Analisi non standard (NSA) nei licei

Lo studio dell’Analisi Matematica viene affrontato dagli studenti durante l’ultimo anno dei Licei. Essa fu inserita nei programmi agli inizi del Novecento in seguito alla riforma Credaro, ma i programmi relativi furono stilati da Guido Castelnuovo, il quale riteneva che, per far conoscere allo studente la matematica moderna, fosse necessario introdurre il concetto di funzione e le due operazioni fondamentali del calcolo infinitesimale. In seguito alla riforma Gentile del 1923, l’analisi rimase solo nel liceo scientifico e non fu insegnata in altri licei.

Nell’insegnamento dell’analisi si segue il classico percorso:

• introduzione delle generalità delle funzioni;
• limiti;
• funzioni continue;
• derivata;
• integrale.

Spesso si intoppa sul concetto di limite. Infatti, gli alunni non acquisiscono in maniera corretta il suo significato e solo successivamente (ovvero all’Università) ne comprendono la vera natura. A tal proposito si consiglia la lettura del post “Alcune riflessioni sul concetto di limite”. In questo modo si toglie spazio alle operazioni fondamentali del calcolo infinitesimale, sacrificando un’importantissima operazione che viene sempre trattata alla fine dell’anno scolastico: l’integrazione.

Lo scopo dell’Analisi non standard (NSA), introdotta da Abraham Robinson nel 1966, è quello di rivedere l’analisi matematica, ripristinando l’impostazione di Leibniz e prendendo come base di partenza il concetto di infinitesimo. L’infinitesimo è un numero più piccolo di ogni numero reale, ma sempre diverso da zero. Partendo da tale concetto, è subito possibile introdurre le derivate e gli integrali, senza dover ricorrere al “complesso” concetto di limite. L’impostazione non standard fu messa in crisi da George Berkeley in quanto riscontrò all’interno della trattazione una “irregolarità”: alcune volte gli infinitesimi venivano considerati delle quantità non nulle, altre volte venivano poste uguali a zero.

Nel XIX secolo, per porre rimedio a tale questione, i matematici Cauchy e Weierstrass misero da parte il concetto di infinitesimo per dare spazio a quello di limite, trasformando il calcolo infinitesimale in analisi matematica. Il concetto di limite ha di molto complicato tutte le definizioni e le dimostrazioni relative all’argomento, togliendo posto alla semplicità nella manipolazione degli infinitesimi.

Nel suo libro Non standard Analysis (1966) il logico Robinson estese gli insiemi numerici con i numeri “non standard”, definendo in maniera rigorosa gli infinitesimi di Leibniz. In questo modo fu possibile riformulare l’analisi, ripristinando la semplicità del calcolo che era proprio del calcolo infinitesimale. Nel 1973 il matematico tedesco Kurt Gödel si espresse in questi termini in relazione alla NSA: «ci sono buoni motivi per credere che l’Analisi non standard in una versione o in  un’altra sarà l’ Analisi del futuro».

Paolo Bonavoglia, nel suo libro Il calcolo infinitesimale nella maniera non standard, ha raccolto l’esperienza di insegnamento non standard svolta nelle ultime due classi del liceo classico. Nella prima parte del libro vengono introdotte le definizioni a partire da esempi, quindi gli allievi del IV anno si possono abituare al calcolo di derivate e integrali per funzioni di tipo polinomiale. Nella seconda parte viene estesa l’analisi anche alle funzioni irrazionali e trascendenti. Il testo, scaricabile gratuitamente al link precedente, è edito da Matematicamente.it.

Ma è davvero utile e naturale l’approccio non standard? La scuola italiana è pronta all’introduzione della NSA nella prassi didattica? Perché insegnarla nei soli licei non scientifici?