La funzione Zeta di Riemann e la Teoria della propagazione ondosa

Divagazioni estive

Praticamente in alto mare per ciò che riguarda la dimostrazione di una correlazione tra la la funzione zeta di Riemann e un fenomeno di propagazione ondosa in un mezzo elastico del tipo lamina elastica (eventualmente omogenea ed isotropa) che avevo denominato lamina di Riemann. Per ora mi sto concentrando su un modello 1-dimensionale, cioè una sbarra elastica omogenea di lunghezza l. In regime lineare questo sistema può essere modellizzato da un un numero infinito non numerabile di oscillatori armonici 1-dimensionali di lunghezza infinitesima. Il passaggio dal discreto (numero finito di oscillatori o al più, infinito numerabile per una sbarra di lunghezza infinita) al continuo (numero infinito non numerabile di oscillatori) implica la transizione dalla funzione del tempo u_i(t), con i=1,...,N, che definisce lo spostamento dalla posizione di equilibrio dell'oscillatore i-esimo, a una funzione u(x,t) che, a sua volta, definisce lo spostamento dalla posizione di equilibrio dell'oscillatore che si trova nel punto di ascissa x.

Ciò è ovvio perchè nel continuo abbiamo un oscillatore per ogni punto dell'intervallo [0,l]. Tuttavia, nulla ci impedisce di considerare la grandezza u_i(t) come una funzione delle variabili i,t, dove la prima è ovviamente una variabile discreta. Tale funzione, nel passaggio al continuo, diviene una funzione d'onda, cioè una soluzione della nota equazione di D'Alambert. Mi piacerebbe dimostrare (troppo facile) che tale funzione si fattorizza rispetto alle proprie variabili x,t, dove la componente temporale si identifica con la parte reale della funzione zeta calcolata lungo una curva del piano complesso. In altre parole, stiamo considerando soluzioni del tipo onda stazionaria. Tempo addietro qualcuno scrisse La solitudine dei numeri primi. Sulla falsariga di tale romanzo, tra l'altro azzeccato visto che stiamo parlando di zeta di Riemann, mi piacerebbe dimostrare che:

La parte reale e la parte immaginaria della zeta di Riemann calcolate lungo la linea critica, definiscono l'evoluzione dinamica di un solitone, cioè di un'onda solitaria

Si tratta di una congettura di tipo letterario, difficile da dimostrare, in quanto il problema consiste nel ricercare soluzioni solitoniche di una qualche equazione differenziale alle derivate parziali non lineare del second'ordine, e non della "semplice" equazione di D'Alambert.