Numeri "ritardatari"

Il teorema di Bernoulli e il gioco del lotto

Jakob Bernoulli

In tempi di crisi come questi sempre più persone affidano i loro sogni ai giochi d’azzardo. Le agenzie di scommesse prosperano e continuano a nascere nuove lotterie che soddisfano le più diverse esigenze di vincita: dall’arricchimento smodato del Superenalotto al vitalizio di Win for life. Fioriscono trasmissioni televisive nelle quali furbacchioni travestiti da altruisti dispensano terne di numeri vincenti, vantando numerosi successi, e sui giornali leggiamo continuamente cronache ansiogene sulla possibilità che alla prossima estrazione qualcuno si possa portare a casa svariati milioni di euro. La rete, poi, ci viene incontro con la solita messe di informazioni: basta collegarsi a uno qualunque dei numerosi siti web che si occupano di giochi e scommesse per avere tutti gli strumenti per tentare la vincita. Sul sito della Lottomatica, ad esempio, nella sezione relativa al gioco del Lotto troviamo pagine dedicate alla Smorfia, per interpretare i propri sogni e ottenere i numeri vincenti, o quelle in cui «è possibile ricavare numeri "caldi" dalle date e dai luoghi che ci ricordano un amore». Ma troviamo anche sezioni dai nomi suggestivi come "nomi e numeri" o "numeri e cucina" dove «sono le pietanze stesse a suggerirti i numeri vincenti». Completano la lista il "test psicolottico" e il "lottoroscopo".
Accanto a tutto questo, che appartiene al tradizionale mondo della fantasia popolare e della superstizione e che non ha nessuna base razionale né tantomeno scientifica, troviamo qualcosa di apparentemente più serio e fondato matematicamente. Alimentato da un database ricco di tutti i numeri estratti dal 1939, il sito della Lottomatica fornisce varie statistiche per scovare i numeri che non escono da più tempo, i cosiddetti "numeri ritardatari", e addirittura i "numeri spia", quei numeri la cui uscita preannuncerebbe l’estrazione di altri. L’idea che c’è sotto è che in qualche modo le estrazioni sono collegate tra di loro, che esiste una sorta di memoria che permette di ricordare quali numeri sono stati estratti per renderli svantaggiati nelle estrazioni successive. Si raccomanda, insomma, di fare attenzione alla storia delle estrazioni precedenti per capire quale sarà l’andamento di quelle future. A sostegno di questa tesi viene spesso tirato in ballo uno dei teoremi più bistrattati della matematica: il teorema di Bernoulli del calcolo delle probabilità.

Valentin de Boulogne, Negazione di Pietro, 1620

Anche da uno sguardo superficiale la cosa appare alquanto bizzarra. E’ come se una volta tirato un dado e costatata l’uscita del numero 6, al lancio successivo una forza misteriosa agisse improvvisamente favorendo gli altri cinque numeri (rispetto al 6) nell’uscita. Ma dal calcolo delle probabilità sappiamo che, non trattandosi di un dado truccato, ogni volta che lo lanciamo l’aspettativa di uscita di uno qualunque dei numeri da 1 a 6 è sempre la stessa: si dice che l’evento ha probabilità p=1/6 (numero casi favorevoli / numero casi possibili). E questa definizione di probabilità, che risulta sempre un numero compreso tra 0 (probabilità dell’evento impossibile) e 1  (probabilità dell’evento certo), si applica anche a giochi come il Lotto o il Superenalotto.
Nel caso del Lotto la probabilità dell’estrazione di un numero su una ruota è uguale per tutti i novanta numeri considerati e vale 1/18. Infatti la probabilità di 1/90 riguarda l'estrazione di un solo numero su quelli disponibili. Nel Lotto, però, se ne estraggono 5 per ogni ruota, senza rimettere dentro quello estratto (estrazione senza reimbussolamento). Quindi se vogliamo sapere qual'è la probabilità che esca il 3 (ad esempio) su una ruota, dobbiamo calcolare la probabilità che esca una qualunque cinquina contenente il 3. La probabilità sarà:

Sapendo che il numero di cinquine totali è il numero di combinazioni semplici di 90 elementi presi 5 alla volta, indicando con il simbolo n! l'operazione di fattoriale del numero intero n, cioè la moltiplicazione di tutti i numeri interi da 1 a n, si ha

Considerando inoltre che il numero delle cinquine contenenti il 3 è uguale a quello delle combinazioni semplici di 89 elementi (quelli rimanenti togliendo il 3) presi 4 alla volta, cioè

si ha

Nel gioco del Lotto, quindi, ogni volta che si esegue un’estrazione tutto ricomincia daccapo, indipendentemente da quello che è avvenuto prima; le diverse estrazioni sono eventi indipendenti che non si influenzano vicendevolmente. Tutto ciò è evidente. Com’è possibile, quindi, che in matematica esista un teorema che ci induca a pensare a una misteriosa azione che rende favoriti alcuni numeri rispetto ad altri, anche se a priori non abbiamo ragioni per giudicarli tali?
Il teorema pubblicato da Jakob Bernoulli nella sua opera Ars conjectandi agli inizi del settecento consta di due parti, la seconda delle quali è detta anche legge dei grandi numeri. Adottando lo schema delle prove ripetute (o schema di Bernoulli) che consiste in una successione {E₁,…,E_n} di eventi indipendenti ed equiprobabili e indicando con A_n il numero di volte (successi) in cui si verifica un determinato evento nelle prime n prove, la legge dei grandi numeri afferma che al tendere all’infinito del numero delle prove la frequenza relativa F_n = A_n/n dei successi tende in probabilità alla probabilità dell’evento stesso, cioè

Dobbiamo qui sottolineare che il concetto di convergenza in probabilità è un po’ differente da quello che incontriamo nello studio dell’analisi matematica. Quando diciamo che una successione di numeri reali {x_n} ha limite L al tendere di n all’infinito, intendiamo che comunque si scelga un numero reale positivo ε, possiamo sicuramente trovare un numero intero positivo N tale che la quantità |x_n – L| diventa minore di ε per tutti i valori di n maggiori di N. Con questa definizione si stabilisce con certezza che ad esempio |x_N+1 – L| o |x_N+10 – L| oppure |x_N+1531 – L| sono tutti più piccoli del numero ε.
La convergenza in probabilità, invece, non può dare questo tipo di certezze. Essa afferma che scelto comunque un numero reale positivo ε, possiamo trovare un numero intero positivo N tale che, per valori n > N, la probabilità che si realizzi l’evento |x_n– L| < ε si avvicina sempre di più a 1 (evento certo). Ma, pur essendo sempre più probabile che al crescere di n si realizzi l’evento |x_n – L| < ε, non possiamo escludere che possano esistere valori x_n molto lontani da L per un numero anche elevato di interi positivi n > N, comunque si fissi N.
Tornando alla legge dei grandi numeri, trattandosi di una convergenza in probabilità, pur essendo sempre più probabile che al crescere di n si realizzi l’evento |Fn – p| < ε, non possiamo escludere che si possano avere valori molto distanti dalla probabilità p, anche per un numero elevato di prove.

Dosso Dossi, Allegoria della Fortuna, 1535-1538

Nel gioco del Lotto, quindi, è illegittimo pensare che aspettando un sufficiente numero di estrazioni si possa, ad un certo punto, essere sicuri di poter puntare sull’uscita di un numero. Non possiamo assolutamente escludere che, essendo state realizzate un numero finito di estrazioni nella storia di questo gioco (comunque ci sembri grande è sempre un numero finito), non se ne verifichi una lunga sequenza senza l’uscita del numero che aspettiamo. Su qualunque numero, ritardatario o meno, puntare ripetutamente (magari al raddoppio come fanno alcuni giocatori) può essere molto rischioso non essendoci garanzia di non aver imboccato una sequenza del tipo detto.
In effetti dalla legge dei grandi numeri possiamo dedurre l’inconsistenza dello stesso concetto di numero ritardatario come numero anomalo e quindi degno di nota. Per ritardatario intendiamo un numero che, avendo la probabilità p di uscire, non lo fa np volte in n estrazioni di una ruota; esso è tanto più ritardatario quanto più lontano da tale valore è il numero A_n di uscite. Per tornare all'esempio del lancio dei dadi, forse più familiare, se si verificasse che dopo 6 lanci nessuno di essi desse come risultato il numero 2, allora si potrebbe cominciare a considerare tale numero come ritardatario, perché la probabilità che esca è pari a 1/6. Nel gioco del Lotto se dopo 90 concorsi il 17 non fosse stato estratto per almeno 5 volte (p = 1/18 e 90/18 = 5) allora sarebbe in ritardo. Se crediamo che tale numero abbia, più passano le estrazioni, sempre maggiore probabilità di essere estratto in modo da "riequilibrare" la situazione anomala, dobbiamo dedurre che la quantità |A_n – np| debba tendere a 0 per valori molto alti di n. Ma per la legge dei grandi numeri, per ogni numero reale positivo ε , tende a 1 la probabilità dell’evento

e il convergere a 0 della frazione non implica il convergere a 0 del numeratore, come vorrebbe l’idea "riequilibratrice" suddetta. Tale frazione può benissimo farlo per il divergere del numeratore. L’importanza della seconda parte del teorema di Bernoulli (legge dei grandi numeri), infatti, non deve far dimenticare la prima che dice proprio che la probabilità che avvenga |A_n – np| < ε, per ogni numero reale positivo ε, è 0 al tendere di n all’infinito. Al crescere di n il numero dei successi non riuscirà a rimanere all’interno di un opportuno intervallo di np perché crescerà il numero di estrazioni non favorevoli al risultato atteso. Quindi l’idea di numero ritardatario e il ricorrere alla storia delle estrazioni per determinarne l’uscita non hanno senso e non possono certo appoggiarsi sul teorema di Bernoulli.

Gaspare Traversi, La chiromante, 1760

Se oltre a campagne di "pubblicità progresso" dove si esorta a giocare responsabilmente, tra l’altro a giochi non equi dove il banco vice sempre, si facesse informazione scientifica seria, in televisione e sui giornali, forse si spunterebbero le armi di chi approfitta della credulità e dell’ignoranza scientifica diffusa e gioca con le speranze della gente, gioca e … vince.
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