Un viaggio a bordo della taxi-geometria

Chi ha visitato metropoli come Torino, Manhattan o Barcellona, avrà notato che l'assetto urbanistico della città è piuttosto ripetitivo, perché organizzato in tanti isolati disposti parallelamente l'uno all'altro: come risultato, le strade percorribili dagli automezzi o dai pedoni sono orientate parallelamente o perpendicolarmente le une rispetto alle altre. 

Il quartiere Ensanche di Barcellona
visto dall'alto

Consideriamo come esempio il quartiere dell'Ensanche (o Eixample, in catalano), il più popolato in assoluto di tutta la Spagna e situato nel cuore di Barcellona. L'Ensanche fu progettato dall'ingegnere Ildefonso Cerdà in blocchi squadrati e ripetitivi secondo precise proporzioni, che visti dall'alto assumono l'aspetto di un reticolato piuttosto ordinato. Se volessimo andare dal punto A al punto B in figura attraverso un taxi, ottimizzando tempo e risorse economiche, il tragitto più breve che possiamo percorrere è di 4 unità di lunghezza, corrispondenti a 4 lati dei quadrati ideali in cui sono "inscritti" gli isolati. Ciascun lato è lungo 133,3 m, per cui la minima distanza da A a B  percorribile in taxi (ma anche a piedi o con qualsiasi altro mezzo di locomozione non volante) sarà:

Tale distanza viene generalmente indicata con dT perché fu denominata ironicamente taxi-distanza o distanza del taxi  o distanza di Manhattan o distanza di Minkowski, dal nome del suo scopritore, il matematico tedesco Hermann Minkowski, ma, se ci pensiamo, questa non è la minima distanza tra A e B che otterremmo col teorema di Pitagora in linea d'aria, che invece sarebbe:

Dunque ci troviamo di fronte a un dilemma: abbiamo 2 distinti concetti di distanza, ciascuno valido "a modo suo". Questo tuttavia non significa che la geometria sia imprecisa o che le sue regole cambino a seconda del punto di vista personale, ma semplicemente basta impostare un sistema di regole e proprietà valide e muoversi in esso con coerenza: è secondo questo principio che sono nate le cosiddette geometrie non euclidee, cioè quelle geometrie diverse da quella (euclidea) a cui ci siamo abituati lungo il percorso scolastico e che possono apparire strambe oppure inverosimili. In effetti, a ben guardare, nella stragrande maggioranza dei casi ci si muove in ambito urbanistico tenendo conto della presenza degli edifici, dei monumenti, degli ostacoli naturali o artificiali presenti, per cui non sempre è possibile muoversi da un punto all'altro secondo la minima distanza euclidea possibile; la geometria del taxi infatti è molto utilizzata proprio in quest'ambito quando si vuole stabilire, ad esempio, l'ubicazione di un servizio pubblico in modo che esso possa servire in maniera equa il bacino d'utenza di una zona.
Possiamo definire, in maniera semplice, la taxi-distanza tra 2 punti in un sistema di coordinate cartesiane come la somma dei valori assoluti delle differenze delle coordinate:

In poche parole la minore distanza tra 2 punti sarà sempre ottenuta sommando n segmenti orizzontali a n segmenti verticali, e a parità di lunghezza percorsa potrà esserci più di una traiettoria percorribile. Ad esempio nell'immagine accanto si vede come le taxi-distanze in rosso, blu e giallo, pur descrivendo percorsi diversi, sono tutte uguali, perché costituite dalla somma di 12 unità di lunghezza; il segmento in verde invece indica la distanza euclidea classica, ottenibile con il teorema di Pitagora nella maniera consueta.
Quali sono le conseguenze di questo nuovo concetto di distanza? Potremmo aspettarci che non ci sia alcun cambiamento nelle proprietà degli enti geometrici, eppure così non è.
Un banale esempio può essere rappresentato dal primo criterio di congruenza dei triangoli, che non è più valido in questo nuovo assetto geometrico, oppure nelle definizioni di circonferenza ed ellisse, che portano a disegnare figure inaspettate, ma questo lo vedremo nel prossimo post ;-).