La caratteristica tipica e singolare di un frattale è un'identica struttura che si ripete su scale differenti, fenomeno comunemente noto come structural scaling. Esistono numerosi frattali con diversi tipi di struttura ricorsiva siffatta. Uno dei più celebri è l'insieme di Cantor, introdotto dal matematico tedesco Georg Cantor. Questo insieme, più che numerabile e con dimensione di Hausdorff maggiore di 0 ma minore di 1 (D = log(2)/log(3) circa 0.63), è definito in modo ricorsivo partendo dall'intervallo [0, 1] dei numeri reali, di cui è un sottoinsieme, e rimuovendo ad ogni passo un segmento aperto centrale da ogni intervallo.
La figura risultante viene chiamata anche pettine di Cantor (Cantor Comb). Particolare suggestivo, l'insieme che rimane dopo aver iterato questo procedimento infinite volte è chiamato polvere di Cantor e ha misura nulla.
Come noto, i frattali non sono solamente un frutto speculativo delle menti dei matematici ma ci perseguitano un po' dappertutto, dalle piante all'economia, e naturalmente c'è chi li trova anche nei capolavori musicali del passato. Harlan J. Brothers ha individuato un insieme di Cantor nella struttura formale della prima Bourrée contenuta nella Terza Suite per violoncello di Bach. La simmetria rinvenuta da Brothers è evidente se si presta attenzione ai valori ritmici dei motivi che costituiscono le frasi, come si può constatare nella seguente analisi.
La struttura al livello di 2 battute (m1, m2, m3) è analoga a quella al livello di 8 battute (s1, s2, s3): abbiamo un pattern, la sua ripetizione e infine una frase lunga il doppio del pattern. Se si considerano poi il ritornello e le 20 misure che concludono il pezzo, abbiamo altri 2 livelli di simmetria scalare. La struttura complessiva del pezzo potrebbe dunque essere schematizzata con il seguente pettine.
Certo, alla fine delle 20 misure ci sarebbe un altro ritornello, ma non tutti i pettini riescono col buco, e comunque pare che molti violoncellisti ignorino questo secondo ritornello per passare direttamente alla seconda Bourrée.
Per concludere, Brothers sostiene che "il fatto che Bach sia nato quasi tre secoli prima del concetto formale di frattale, potrebbe indicare che un'affinità intuitiva per la struttura frattale è per alcuni compositori un elemento motivazionale intrinseco al processo compositivo". Lo stesso elemento motivazionale intrinseco di un cavolo broccolo romanesco?
Sono molto legato a questo brano, essendo stato il primo pezzo post Carulli che ho studiato per chitarra classica nei primissimi anni '90, in un arrangiamento decisamente impegnativo di Abloniz. L'ho ripreso. Di seguito una mia interpretazione odierna. Li sentite i frattali?
Linkografia:
- A Fractal in Bach's Cello Suite
- The Fractal Nature of Music
- Fractal Musical Rhythms
Altro su Bach:
- Musurgia Mirifica, composizione assistita nel 1600
- 256/243
Altro sulla chitarra:
- Il Gallo e la Chitarra