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[¯|¯] Battendo (senza pizzicare) una corda infinitamente estesa

Creato il 17 ottobre 2018 da Extrabyte
equazione della corda vibrante,equazioni differenziali alle derivate parziali,soluzione di D'Alembert Fig. 1

Abbiamo esaminato il caso 1. Passiamo ora alla corda (infinitamente estesa) e battuta, per cui inizialmente si trova nella configurazione di equilibrio, mentre il campo scalare della velocità iniziale è una assegnata funzione ψ(x). Quindi definiamo:

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La soluzione del problema di Cauchy assegnato, si scrive:
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che è ancora una sovrapposizione di due onde piane che si propagano a velocità c in versi opposti. Nell'istante t=0 tali onde interferiscono distruttivamente, cancellandosi a vicenda:
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come appunto deve essere, giacché la corda è inizialmente in equilibrio. Ad esempio, se il campo di velocità iniziale è una gaussiana:
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si ha
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essendo erf(x) la funzione degli errori. In fig. 1 sono plottati gli andamenti delle varie grandezze, nonché la u(x,0) da cui vediamo che è identicamente nulla.
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L'evoluzione dinamica della corda battuta con il campo di velocità assegnato, è
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Per t=t1=8s presenta l'andamento riportato in figura:
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Ciò non si verifica solo per una campo gaussiano come quello appena visto, ma è una proprietà generale a patto che la distribuzione sia sufficientemente piccata. Più precisamente, dato un campo di velocità iniziale ψ(x) sufficientemente piccato intorno a x=0 (o a un punto x0), si ha:
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per cui
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Cioè per x»1 la funzione ?(x) è approssimativamente costante. Ne consegue
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onde lo spostamento a regime
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che è una costante. In altri termini, la corda tende a traslare nell'istante in cui le onde componenti sono sufficientemente lontane.

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