Commento alle Prove di Matematica per i licei scientifici – 23 giugno 2011
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Osservazioni generali
I due problemi proposti nelle prove degli Esami di Stato alternano delle richieste di natura ordinaria a richieste di difficoltà alta. Infatti, malgrado il bellissimo tentativo di far comprendere come la matematica possa essere utilizzata per descrivere la realtà, si pensa che alcune richieste siano fuori dalla portata dei candidati, in quanto, questi ultimi, durante l’anno avranno avuto un numero molto esiguo di possibilità di confronto con tali situazioni.
Tali richieste potrebbero essere più sensate in una prova d’esami per allievi che hanno affrontato un corso di studi in cui è stata fissata l’attenzione sulla modellizzazione matematica. Infatti, nelle Nuove Indicazioni per il curricolo di Matematica, è previsto un insegnamento della disciplina che abitui gli allievi alle applicazioni alla realtà. Al termine del percorso liceale del Nuovo Ordinamento, i candidati dovrebbero essere in grado di affrontare richieste della natura proposta quest’anno.
Il questionario, come sempre, risulta molto eterogeneo e assolutamente squilibrato dal punto di vista della difficoltà dei quesiti che vengono proposti. Infatti, di fronte a quesiti di difficoltà medio-alta, si trovano quesiti di difficoltà bassa. Supponendo che ogni quesito debba contribuire nella stessa misura alla valutazione complessiva della prova, come bisogna valutare due prove di cui una in cui siano stati svolti solo i quesiti di bassa difficoltà e l’altra in cui siano stati svolti anche esercizi di difficoltà medio-alta?
Osservazioni sulla prova di ordinamento
Problema 1
Il problema è puramente di analisi matematica ed costituito da quattro richieste tutte tra di loro indipendenti, delle quali tre di natura quasi tradizionale e una non sempre alla portata degli allievi. La sua difficoltà complessiva è medio-alta, ma quasi coerente con i programmi svolti durante l’ultimo anno di liceo. Di seguito vengono analizzati nel dettaglio i singoli punti.
Nel primo punto viene richiesto il classico studio dell’andamento di due funzioni, delle quali la prima è una cubica, mentre il secondo grafico della seconda si può ottenere a partire da quello della funzione y=sinx mediante una contrazione orizzontale che porta il punto (2π,0) nel punto (2,0) e, per tale ragione, il suo studio sistematico può essere evitato.
Nel secondo punto vengono richieste le intersezioni del grafico della cubica con una retta e la risoluzione del sistema porta ad un’equazione di terzo grado facilmente risolvibile. Inoltre, la richiesta di determinare le coordinate dei punti a tangente orizzontale della funzione sinusoidale le cui ascisse sono comprese in un dato intervallo, obbliga i candidati a ricordare che, nell’espressione del periodo, k è un numero intero e non può quindi assumere tutti i valori contenuti nell’intervallo che loro determinano analiticamente, ma solo quelli interi. Quindi la determinazione di tali punti si traduce in un esercizio lungo e noioso, che mette in luce solo delle abilità di calcolo che si presuppone siano state abbondantemente acquisite dagli allievi. Sarebbe stato più sensato restringere l’intervallo di appartenenza delle ascisse, in modo da far calcolare agli alunni quattro punti anziché 12!
Nel terzo punto viene richiesto il calcolo della regione di piano compresa tra due curve. Tale esercizio è uno di quelli standard che durante l’anno scolastico viene affrontato in classe.
Il quarto punto è meno immediato degli altri tre e avrà di certo messo gli allievi in forti difficoltà. Proprio dalla richiesta si evince il tentativo di far capire come la matematica possa essere applicata a problemi di vita quotidiana, ma forse questo tentativo è stato fatto in un momento sbagliato della carriera scolastica dell’allievo. Infatti, nella prassi didattica si incontrano pochi esempi di applicazioni simili, forse perché i docenti sono più concentrati sullo svolgimento dell’immenso programma nell’esiguo tempo di tre ore settimanali, piuttosto che su applicazioni fantasiose della matematica. Le difficoltà nascono soprattutto dalla poco sviluppata capacità degli alunni di immaginare nello spazio a tre dimensioni e di considerare una sezione trasversale che, integrata, permette di determinare il volume richiesto.
Problema 2
Il problema è anch’esso di analisi matematica ed costituito da quattro richieste tra di loro indipendenti, delle quali tre di natura quasi tradizionale e una del tutto insolita. La sua difficoltà complessiva è medio-alta, ma quasi coerente con i programmi svolti durante l’ultimo anno di liceo. Di seguito vengono analizzati nel dettaglio i singoli punti.
Nel primo punto viene richiesta la determinazione dei valori di due parametri che compaiono in una funzione, che soddisfano determinate condizioni. Gli allievi, durante l’ultimo anno di corso, si trovano a trattare esercizi simili e, per tale ragione, si ritiene che la sua risoluzione sia abbastanza immediata.
Nel secondo punto viene richiesto lo studio dell’andamento di una funzione, della quale non è possibile determinare per via algebrica le intersezioni con gli assi. Questi tipi di esercizi fanno parte del programma ordinario, anche se spesso molti docenti non studiano delle funzioni in cui sia necessario studiare per via algebrica equazioni e disequazioni.
Nel terzo punto viene richiesto il calcolo di un’area e costringe gli alunni alla risoluzione di un integrale per parti. Anche in questo caso ci si trova di fronte ad una richiesta di natura ordinaria, in quanto durante l’anno i candidati hanno trattato diverse volte esercizi simili.
Il quarto punto porta un elemento di novità nella prova degli Esami di stato. Infatti, malgrado l’apprezzabile tentativo di considerare un’applicazione pratica della disciplina, i candidati sono stati costretti ad effettuare dei calcoli e a formulare un’ipotesi sull’evoluzione di un fenomeno. Questa tipologia di esercizio è assolutamente lontana da quanto viene trattato durante l’ultimo anno di liceo e, malgrado la sua difficoltà medio-bassa, ha alzato la difficoltà totale del problema.
Questionario
Quesito 1
Il quesito presenta una difficoltà media e in esso bisogna effettuare un po’ di conti. I candidati hanno probabilmente affrontato dei problemi di massimo e di minimo analoghi durante l’anno, anche se spesso viene dato poco spazio alla geometria solida. Esercizi simili vengono proposti nei vari testi scolastici.
Quesito 2
Anche questo quesito rientra tra i problemi di minimo. La sua difficoltà è media e non presenta grandi difficoltà nell’effettuare i conti. Gli alunni potevano affrontarlo senza grandi complicazioni. Si ritiene che la sua presenza sia inutile, visto che anche il primo quesito è relativo allo stesso argomento.
Quesito 3
Il quesito rientra tra i problemi trattati durante l’anno scolastico relativi al calcolo dei volumi dei solidi di rotazione. La sua difficoltà è medio-bassa ed è possibile trovarne di analoghi nei libri di testo. Vista la forte presenza della teoria dell’integrazione anche nell’ambito dei problemi, si poteva sostituire questo quesito con altri mirati a valutare altre competenze.
Quesito 4
Spesso, durante il quinto anno di liceo, non si riesce a trattare debitamente il calcolo combinatorio. Il quesito è di bassa difficoltà, in quanto, conosciuta la definizione di combinazioni, si riduceva a puro calcolo algebrico. A causa dell’esiguo numero di ore dedicate alla matematica, spesso gli alunni non si sono mai confrontati con questa tipologia di esercizi, perdendosi l’opportunità di risolvere un quesito semplice.
Quesito 5
Anche questo quesito è relativo al calcolo integrale. Rientra tra quelli svolti durante la prassi didattica ordinaria ed è di bassa difficoltà. I candidati dovevano solamente porre attenzione al fatto che era necessario cambiare il segno del secondo integrale, in quanto l’are della regione di piano è al di sotto dell’asse delle ascisse. Come detto nel caso del quesito 3, anche questo poteva essere sostituito con un esercizio volto a valutare altre competenze.
Quesito 6
Il quesito è di bassa difficoltà. Durante l’anno i candidati hanno risolto diversi esercizi di questa tipologia e son presenti esempi simili nei vari libri di testo. La sua risoluzione risulta del tutto sbilanciata rispetto ad altri quesiti incontrati fino a ora.
Quesito 7
Negli ultimi anni i redattori della prova si divertono a dedicare un quesito all’anno in corso. Quest’anno è toccato al 2011, ma ci si è orientati sulle radici di un’equazione, piuttosto che sul teorema di De L’Hopital (come negli altri anni). L’esercizio è di media difficoltà, perché non sempre viene trattato durante l’anno scolastico. Sono presenti diversi esempi nei libri di testo e i docenti ne propongono alcuni sia durante lo studio del teorema di esistenza degli zeri, sia dopo aver trattato la derivata per dimostrare l’unicità della soluzione.
Quesito 8
Questo quesito è stato proposto alcuni anni fa a partire da una terzina del Paradiso di Dante. La proposta di argomenti di carattere storico che si sono rivelati importantissimo nello sviluppo della matematica è di certo degna di lode. Però si ritiene sia più coerente per i Nuovi Licei in cui la storia del pensiero matematico è stata resa parte integrante della didattica usuale. Pur essendo un quesito di bassa difficoltà, si trasforma in un quesito di difficoltà medio-alta perché gli alunni, spesso, non hanno avuto modo di confrontarsi con tale argomento.
Quesito 9
La difficoltà del quesito è medio-alta, in quanto i candidati raramente hanno avuto modo di trattare debitamente la geometria nello spazio. Quante cose bisogna far rientrare nelle tre ore settimanali dedicate alla matematica in ciascuna delle tre classi del triennio?
Quesito 10
Il quesito riguarda l’interpretazione dei grafici di funzioni. È sicuramente stimolante e la sua difficoltà è medio-bassa se l’insegnante ha abituato l’allievo a trattare situazioni analoghe. Il problema dell’inversione non è sempre immediato, in quanto gli allievi spesso non sono in grado di trarre informazioni a partire da un grafico e, per tale ragione, vanno guidati in questa interpretazione.