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Gauss, il precoce nella matematica

Creato il 21 maggio 2020 da Sabrinamasiero
Gauss, il precoce nella matematica

Carl Friedrich Gauss, opera di Christian Albrecht Jensen. Fonte: Wikipedia

Forse non è corretto stilare una classifica dei cinque più grandi matematici di tutti i tempi: si rischierebbe di escludere un tal numero di nomi illustri che la graduatoria stessa perderebbe significato. Sicuramente però, qualsiasi fosse il criterio scelto per fare questo ipotetico elenco, fra i nomi più “alti in classifica” ci sarebbe quello del tedesco Carl Friedrich Gauss.

Pauca sed matura.
(Poche cose, ma mature)

La pensava così Gauss a proposito dei libri e della sua matematica. I suoi diari personali mostrano che fece importanti scoperte matematiche anni, per non dire decenni o secoli, prima di altri matematici. I suoi taccuini trattano di variabili complesse, di geometrie non-euclidee, fondamenti matematici della fisica e altro ancora… Tutte cose affrontate dai matematici dei secoli successivi e pubblicati da quest’ultimi, non da Gauss. Se avesse pubblicato tutte le sue scoperte, avrebbe probabilmente anticipato i suoi colleghi matematici di almeno cinquant’anni, secondo lo storico matematico Eric Temple Bell.

Il numero e l’importanza delle scoperte di questo uomo lasciano sbalorditi, anche per l’incredibile diversità dei campi di cui si interessò: matematica pura e applicata, fisica, astronomia, economia, statistica, misurazioni geodetiche. Ovunque si trovano teoremi e leggi legate al suo nome. Per avere il tempo di studiare tutto questo, Gauss dovette darsi da fare fin da piccolo e, in effetti, fu proprio quello che fece.

Nato a Brunswich (Germania) nel 1777, già all’età di due anni aveva imparato a leggere e l’anno successivo aveva già preso dimestichezza con i numeri, tanto da correggere le bolle di pagamento che il padre redigeva per il lavoro. Racconta a tal proposito Eric T. Bell in “Men of Mathematics”, pubblicato da Simon Schuster Inc. New York, 1937:

«Un sabato Gerhardt Gauss stava compilando le ricevute settimanali per i lavoratori sul suo libro paga, senza accorgersi che il giovane figlio stava seguendo attentamente il suo lavoro.  Arrivato alla fine del lungo calcolo, Gerhardt fu scioccato dal sentire il bambino dire «Padre, il conto è sbagliato. Dovrebbe venire… ». Un controllo mostrò che il giovane Gauss aveva ragione.

Gauss, il precoce nella matematica

Casa natale di Gauss. Fu distrutta nella Seconda Guerra Mondiale. Fonte Wikipedia.

Fu questo il precocissimo inizio di una carriera folgorante. Si racconta che un giorno il maestro della classe frequentata dal piccolo Carl propose un problema di aritmetica per tenere occupati i bambini, piuttosto turbolenti, per lungo tempo. Il problema dato dal maestro Buttner consisteva nel calcolare la somma dei numeri da uno a cento. La ricerca in effetti era lunga e noiosa: uno più due fa tre, tre più tre fa sei, sei più quattro fa dieci, dieci più cinque fa quindici e così avanti fino a cento.

Dopo pochi minuti il piccolo Carl si presentò al maestro con la soluzione: 5 050. Il maestro non credette ai propri occhi quando lesse quel numero e, convinto che lo stesse prendendo in giro, rimproverò severamente lo scolaro. Ce lo possiamo immaginare cosa gli può aver detto tutto incollerito: “Ma da dove hai tirato fuori quel numeroTe lo sei inventato?” Il bambino, che era in buona fede, tentò di convincere il maestro che quel valore era il risultato di un calcolo rigoroso e dettagliato che lui aveva fatto, ma non fu in grado di convincerlo. Così, una volta rientrato a casa, il maestro Buttner, diversamente dal giovanissimo Gauss, ci perse la vita per fare la somma dei cento numeri, ricavando che, effettivamente, il risultato del piccolo Gauss era corretto.

Come aveva fatto a ottenere quel valore? All’età di 10 anni Carl aveva inventato mentalmente un algoritmo per sommare i primi 100 numeri naturali: mettiamo in fila tutti i numeri da uno a cento; poi in corrispondenza di ogni numero, scriviamo sotto ancora i numeri da 100 a 1, ossia in ordine inverso.

1, 2, 3, 4, … 97, 98, 99, 100.

100, 99, 98, 97, … 4, 3, 2, 1.

Carl sommava ciascun numero della riga superiore con il corrispondente numero della riga inferiore; 1+100, 2+99, 3+98, e così via. Quello che si ottiene è sempre lo stesso numero, cioè 101. Facendo la somma di tutte queste somme parziali, che è pari a 101 per 100, otteniamo 10100. Questo valore, come ben si può intuire, è il doppio della somma dei numeri da uno a cento. Quindi, dobbiamo dividere 10 100 per 2, ottenendo 5050.

E Gauss, questo calcolo per lui molto semplice, lo fece in un attimo e lo presentò al maestro. Quest’ultimo, probabilmente, ci impiegò il pomeriggio (e forse anche la sera) per ottenere il valore di 5050.

Ma non finisce qui. All’età di 19 anni dimostrò la possibilità di disegnare un poligono a 17 lati con riga e compasso: fu il primo passo in avanti in questo campo dopo due millenni; a 22 anni ottenne il dottorato con una brillante dimostrazione del Teorema Fondamentale dell’Algebra.

Gauss, il precoce nella matematica

Il primo osservatorio di Gottinga risale al 1750. La torre, oggi non più esistente, si poteva avere una vista libera verso sud. Si trovava nel tratto meridionale delle mura cittadine. Crediti: Wikiwand.com

Per le distanze all’interno del Sistema Solare non conviene utilizzare il chilometro: le distanze sono così grandi che si otterrebbero numeri esageratamente grandi. Conviene passare ad un’altra unità di misura che è definita Unità Astronomica e abbreviata in UA. Se pensiamo alla distanza Sole-Terra, che in chilometri è pari a quasi 150 milioni, allora possiamo prendere questa come unità di riferimento: 1 UA equivale alla distanza della Terra dal Sole; le distanze degli altri pianeti vengono così espresse in UA. Per esempio, Giove si trova a 5,2 UA dal Sole, che equivale a 5 volte la distanza Terra-Sole: Giove è cinque volte più lontano della Terra dalla nostra stella.

Johann Titius nel 1776 enunciò una legge empirica sulle distanze tra il Sole e i pianeti. Titius partì dalla successione 0, 3, 6, 12, 24, 48 e 96, nella quale ogni termine successivo al secondo è doppio di quello precedente, quindi aggiunse 4 a ogni termine per ottenere 4, 7, 10, 16, 28, 52 e 100. Dividendo per 10, tali numeri risultarono quasi esattamente proporzionali alle distanze dal Sole di Mercurio (0,4 UA), Venere (0,7 UA), Terra (1 UA), Marte (1,6 UA), Giove (5,2 UA) e Saturno (10 UA); non vi era però alcun pianeta a distanza 2,8 (e quindi a 2,8 UA).

Questa legge, che doveva diventare nota come legge di Bode (perché Johann Bode se la attribuì ingiustificatamente), rimase solo una curiosità fino al 1781, anno in cui William Herschel scoprì Urano a una distanza di circa 19,6 unità astronomiche. Dato che il successivo termine della serie di Titius-Bode era [2 (96) + 4] :10 = 19,6, l’interesse era ora localizzato sul vuoto esistente alla distanza 2,8 UA.

Gauss, il precoce nella matematica

Fonte: cliccare sull’immagine

Nell’ultimo giorno dell’anno 1800 e il primo giorno del 1801, Giuseppe Piazzi scoprì quello che riteneva fosse il pianeta mancante. Oggi sappiamo che Cerere è un pianeta nano della Fascia Principale degli Asteroidi, il più grande tra i circa 800 000 asteroidi finora scoperti di varie dimensioni. La difficoltà di osservazione di un oggetto così piccolo rese scarsi i dati disponibili ed estremamente difficile il calcolo dell’orbita: lo stesso Isaac Newton aveva fatto notare quanto fosse difficile calcolare le orbite con pochi dati.

Dopo solo tre osservazioni Carl Gauss mise a punto una tecnica per calcolare le componenti orbitali con una precisione tale che tra la fine del 1801 e l’inizio del 1802 parecchi astronomi furono in grado di ritrovare Cerere senza difficoltà: l’asteroide ricomparve e si scoprì che aveva ragione, lui, ancora una volta. Il risultato gli valse una posizione all’Osservatorio di Göttingen, di cui nel tempo diventerà direttore (dal 1815 al 1855).

Gauss si interessò all’elettromagnetismo, scoprendo una legge fondamentale dei campi magnetici che ancora oggi porta il suo nome, così come “gaussiana” è la denominazione della curva più nota in statistica.


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