Un aspetto centrale della maggior parte del lavoro di Kalecki era la distribuzione del reddito e diversa ripartizione di questo tra le diverse categorie (principalmente, i lavoratori e capitalisti). Richard Goodwin (1967), sulla falsariga di questa tradizione marxista-keynesiana, ha formulato un modello non lineare del ciclo sulla base della “lotta di classe”. Questo grazie alle equazioni di Lotka-Volterra nate per spiegare gli scenari “preda-predatore” in biologia (più corretto dire in “ecologia” ndt). Il modello di Goodwin in sostanza ha tentato di dimostrare la relazione ciclica tra occupazione e quota salariale in un’economia funzionante. Tale modello in realtà non è così controverso come può sembrare a prima vista: “lotta di classe” e “predatore-preda” può invocare immagini stridenti di rivoluzione e reazione, ma a guaardar bene è la stessa cosa che il vedere all’opera una curva di Phillips standard o un meccanismo di profitto kaleckiano.
Le caratteristiche di base del modello di Goodwin (1967) affermano semplicemente che l’alta occupazione genera quella inflazione salariale che può aumentare la quota dei salari dei lavoratori, ma che questo, a sua volta, riduce i profitti dei capitalisti e, quindi – in senso kaleckiano – riduce gli investimenti futuri. Tale riduzione della produzione, a sua volta riduce la domanda di lavoro e di occupazione e di conseguenza porta ad una crescita inferiore dei salari se non addirittura ad una loro decrescita; questo di conseguenza porta alla riduzione della quota dei salari dei lavoratori (rispetto ai profitti). Al verificarsi del declino della quota spettante ai salariati si ha un aumento dei profitti e, conseguentemente, degli investimenti. Questo porterà a una maggiore occupazione e quindi ad un miglioramento del potere contrattuale dei lavoratori ed in definitiva ad un aumento della quotai salari: a questo punto il ciclo si ripete. Si consideri inoltre che, Goodwin aggiunge componenti esogene di crescita, ed in particolare, la crescita dell’offerta di lavoro e la crescita della produttività.
La configurazione essenziale del modello di Goodwin è quella di suddividere in due classi i destinatari di reddito: da una parte lavoratori salariati e dall’altra capitalisti percettori di profitto.
Di consenguenza Y è diviso tra queste due categorie in modo che wL rappresenta la massa salariale (dove w è salario e L la quantità di lavoro impiegata) e P = Y – wL sono gli utili complessivi. Così, wL / Y è la quota dei salari e P / Y è la quota di profitto in modo che wL / Y + P / Y = 1. Lasciando l = Y / L, quindi la quota dei salari può essere riscritta w / l, mentre la quota di profitto è 1-w / l.
Fatte proprie le idee di Kalecki, si assume che i capitalisti risparmiano tutti i loro redditi, mentre i lavoratori consumano i loro. Così, i risparmi totali sono S = P = (1-w / l) Y. Inoltre tutti i risparmi vengono investiti, in modo che:
dK/dt = S = (1-w/1)
/l tasso di crescita dello stock di capitale è:
gK = (dK / dt) / K = (1-w / l) (Y / K)
se poniamo che v = K / Y, il rapporto capitale-output, sarà:
gK = (1-w / l) / v
Come l = Y / L, quindi l’occupazione L = Y / l. Lasciando crescere la produttività del lavoro al tasso q quindi l = l 0eqt. Così, come Y / L = l, quindi GY – gL = (DK / t) / DK – (dL / dt) / L = q così:
gL = gK – q
e, sostituendo per gK:
gL = (1-w / l) / v – q
Sia N la fornitura di lavoratori, che cresce al tasso naturale n, quindi N = N0ent, così gN = n. Pertanto, il tasso di occupazione sarà m = L / N così, in termini di crescita:
gm = (dm / dt) / m = gL – GN
oppure:
GM = (1-w / l) / v – q – n
riorganizzando (e lasciando che u = w / l):
gm = (1 – u) / v – (q + n)
è il tasso di crescita dell’occupazione. Come u = w / l, quindi:
gu = gw – gl
riflette la crescita della quota del lavoro. Goodwin presuppone un rapporto con la curva di Phillips che domina la crescita dei salari dove gw = | (m) dove | m> 0, così all’aumento del tasso di occupazione abbiamo la decrescita dei salari (o la decrescita del loro aumento ndt).
Se l’andamento è lineare (o approssimare esso tramite una funzione lineare), allora possiamo scrivere come segue le relazioni con lacurva di Phillips:
gw =-a + bm (dove a, b> 0).
Ricordando che gl = q, quindi collegando questi nella nostra equazione (gu) abbiamo:
gu = [-a + b m] – q
Così siamo in grado di stabilire due equazioni differenziali da GM e gu, che riflettono la crescita dell’occupazione e la quota dei salari rispettivamente:
dm / dt = [1 / v - (q + n) - u / v] m
du / dt = [- (a + q) + bm] u
Si noti che le equazioni di Lotka-Volterra hanno una dinamica dei vortici del tipo illustrato nella seguente figura.
Nellla figura, ogni traiettoria nello spazio (u, m) è un’orbita chiusa attorno all’equilibrio E = (u *, m *). Così, come è ovvio, abbiamo una dinamica ciclica di u e m. Per capire la logica, si guardino solo le equazioni differenziali per l’occupazione e la quota dei salari. Se l’occupazione va a zero, poi, ovviamente, il du / dt = – (a + q) u, vale a dire la quota dei salari va a zero in maniera esponenziale al tasso (a + q). Se, invece, quota salariale va a zero, allora dm / dt = [1 / v - (q + n)] m, il che implica che l’occupazione è aumentata infinitamente al tasso esponenziale [1 / v - (q + n)] (come se non ci fossero costi). Questo è simile ad uno scenario “predatore-preda”, dove l’occupazione è la quota dei salari è preda: se la preda (occupazione) sparisce, allora il predatore (quota dei salari) si estingue, se il predatore sparisce allora la preda cresce illimitatamente.
Questo è simile ad una situazione”predatore-preda”, dove l’occupazione è la quota dei salari è preda : se la preda (occupazione) sparisce, allora il predatore (quota dei salari) si estingue, se il predatore sparisce allora la preda cresce illimitatamente.
La direzione oraria delle orbite chiuse nella figura sopra ed i valori di equilibrio (u *, m *) sono facilmente accertate dalle equazioni differenziali. Se dm / dt = 0, quindi 1 / v – (q + n) – u / v = 0 così, dm / dt = 0 dove u = 1 – v (q + n) = u * (il che è positivo perchè 1 > v (q + n)) similmente, se du / dt = 0, allora – (a + q) + bm = 0, o du / dt = 0 dove m = (a + q) / b = m *. Così, dm / dt = 0 e du / dt = 0 sono linee verticali e orizzontali che si intersecano rispettivamente ai valori di equilibrio (u *, v *). Le dinamiche sono facili da valutare. Si noti che valutata all’equilibrio m *, d (dm / dt) / du = – (a + q) / BV <0, quindi a destra di dm / dt = 0, m diminuisce mentre a fianco di esso, m sale. Allo stesso modo, valutati in condizioni di equilibrio u *, d (du / dt) / dm = b (1-v (q + n))> 0, quindi al di sopra della du / dt = 0, u si alza, mentre al di sotto di esso, u cade .
dm / dt = [1 / v - (q + n) - u / v] m
du / dt = [- (a + q) + b m] u
Per arrivare alla dinamica risultante, mettiamo le equazioni differenziali in rapporto ad eliminare dt:
dm / du = [dm / dt] / [du / dt] = [1 / v - (q + n) - u / v] m / [- (a + q) + bm] u
così:
dm [- (a + q) + bm] u = du [1 / v - (q + n) - u / v] m
e dunque:
dm [- (a + q) / m + b] = mu du [1/vu - (q + n) / u - 1 / v] mu
quindi dividendo per mu:
dm [- (a + q) / m + b] = du [1/vu - (q + n) / u - 1 / v]
integriamo entrambe le parti:
O [- (a + q) / m + b] dm = O [1/vu - (q + n) / u - 1 / v] du
che i rendimenti:
- (A + q) ln m + bm = [1 / v - (q + n)] ln u – u / v + c
dove c è una costante di integrazione. Introducendo una variabile z, allora dall lato sinistro può essere scritta:
z = F (m) = – (a + q) ln m + bm
e per il lato destro:
z = G (u, c) = [1 / v - (q + n)] ln u – u / v + c
La curva F (m) e G (u, c) sono illustrati nella Figura sotto. Per la prima equazione dz / dm = F ¢ = – (a + q) / m + b e F (m) è convessa all’origine. Si noti che al fondo di F (z), F ‘= 0 implica m = – (a + q) / b che è all’estremo di F (z) – che è – per inciso – esattamente il valore di equilibrio m *. Analogamente, per la seconda equazione: dz / du = G ¢ = [1 / v - (q + n)] / u – 1 / v e G (u, c) è concava all’origine; al estremo, G ¢ = 0 quindi u = 1 – v (q + n), che è esattamente il valore di equilibrio u *.
Si vede subito che gli estremi di F (m) e G (u, c) formano i confini dei valori u e m prenderà quindi l’orbita appropriata. Per esempio, supponiamo che abbiamo iniziato a m1 nella Figura . Ciò corrisponde, tramite F (m), ad una particolare z che, rimbalzando la linea 45 °, rese u * che è l’estrema di G (u, c). Così, m non possono scendere sotto 1 m perché allora sarà corrispondente a z e sarà superiore al massimo G (u, c). Analogamente, m non può essere superiore a 2 m. Al contrario, se prendiamo il limite inferiore dei valori ammissibili di u (cioè U1), ciò corrisponde a un particolare valore z via G (u, c), che, rimbalzando sulla linea a 45 °, è l’estrema della F (m ) funzione. Ogni u sotto u1 implicherebbe az sotto gli estremi di F (m), che non è fattibile. Così, u non può essere inferiore a U1 né, da un argomento simile, può essere al di sopra degli U2.
I confini m 1, m 2, u1 e u2 tutti definiscono un’orbita molto chiaro nel quadrante positivo – che è una delle molte possibili orbite, ma sarà quello che viene scelto. Come i confini sono determinati dalla forma e posizione F (m) e G (u, c), rispettivamente, allora l’orbita scelta dipende non solo dai parametri in quelle funzioni (a, b, v, q, n) così come il coefficiente di integrazione c. Se, per esempio, cambiamo c in modo che G (u, c) diminuisce (cioè è più vicino all’asse orizzontale), è facile rintracciare che la più piccola, orbita interna tracciata nella figura governerà le dinamiche. In breve, data l’orbita scelta dalla quota di parametri, di occupazione e di salario essa oscillerà ciclicamente in modo deterministico – ed estranea agli shock esogeni. Dunque il Ciclo di “lotta di classe” di Goodwin è “endogeno” al sistema. Molti economisti, soprattutto (ma non esclusivamente) di orientamento keynesiano o marxista, hanno fatto molto uso della struttura di Goodwin e delle sue dinamiche cicliche endogene.