Effettuo, di seguito, una sintesi delle loro caratteristiche, accompagnata da cinque animazioni che vi aiuteranno a visualizzare dinamicamente sia lo sviluppo piano che la struttura in 3D del tetraedro regolare, l'esaedro regolare, l'ottaedro regolare, il dodecaedro regolare e l'icosaedro regolare.
Ho ottenuto le cinque animazioni con il software Poly.
Ricordiamo che un poliedro è regolare se ha per facce sia poligoni regolari e congruenti che angoloidi congruenti.
Cominciamo con il tetraedro regolare: è composto da quattro triangoli equilateri congruenti; in ogni vertice concorrono tre triangoli. La somma delle ampiezze delle facce di ogni angoloide è 3 * 60° = 180°.
Tetraedro regolare
L'ottaedro regolare è composto da otto triangoli equilateri congruenti; in ogni vertice concorrono quattro triangoli. La somma delle facce di ogni angoloide è 4 * 60° = 240°.
Ottaedro regolare
L'icosaedro regolare è composto da 20 triangoli equilateri congruenti; in ogni vertice concorrono cinque triangoli. La somma delle ampiezze delle facce di ogni angoloide è 5 * 60° = 300°.
Icosaedro regolare
L'esaedro regolare o cubo è composto da sei quadrati congruenti; in ogni vertice concorrono tre quadrati. La somma delle ampiezze delle facce di ogni angoloide è 3* 90° = 270°.
Esaedro regolare o cubo
Il dodecaedro regolare è composto da dodici pentagoni regolari congruenti; in ogni vertice concorrono tre pentagoni. La somma delle ampiezze delle facce di ogni angoloide è 3 * 108° = 324°.
Dodecaedro regolare
Come già avete studiato, la somma delle ampiezze degli angoli che compongono un angoloide è sempre minore di 360° altrimenti l'angoloide degenera, "schiacciandosi" sul piano.
Questa proprietà fa sì che non si possano costruire altri poliedri oltre ai cinque che già conosciamo. Se infatti provassimo a costruire:
- un poliedro avente angoloidi formati da sei triangoli equilateri, si avrebbe 6 * 60° = 360° e l'angoloide si appiattirebbe;
- un poliedro avente angoloidi formati da 4 quadrati congruenti, si avrebbe 4 * 90° = 360° e la conseguente impossibilità per l'angoloide di esistere;
- un poliedro avente angoloidi formati da 4 pentagoni regolari congruenti, si avrebbe 4 * 108° = 432°; quindi sarebbe impossibile costruire un tale poliedro regolare.
Proseguendo con le facce esagonali, si raggiungerebbe il limite già con tre esagoni 3 * 120° = 360°. Quindi non è possibile costruire un angoloide avente per facce degli esagoni regolari. A maggior ragione, non si possono ottenere dei poliedri regolari con poligoni aventi un maggiore numero di lati.
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