A prima vista sembra plausibile supporre che il barbiere si faccia la barba da solo. Tuttavia, se si comporta in questo modo , viola la premessa secondo cui egli rade tutti gli uomini del villaggio che non si radono da soli. Ma, se non si rade, allora il babriere viola la premessa secondo cui egli rade trutti gli uomini che non si radono da soli. Chi, allora, rade il barbiere del villaggio?
Questo paradosso fu presentato per la prima volta nel 1918 dal filosofo inglese Bertrand Russel. Se il paradosso viene ridotto ai suoi termini più semplici, ci si rende conto di avere a che fare con due insiemi di uomini del villaggio: coloro che si radono da soli e coloro che non si radono da soli e, dunque, si fanno radere dal barbiere. Il problema effettivo è: a quale gruppo appartiene il barbiere? Di fatto, il barbiere non appartiene ad alcuno degli insiemi, in quanto, come si è visto, la sua presenza produce la conclusione contraddittoria secondo cui egli rade se stesso se e solo se non si rade. In realtà, come ha osservato il filosofo americano Willard Van Quinem il paradosso può essere considerato una prova valida a sostegno del fatto che il barbiere non può esistere: risulta un caso classico di reductio ad absurdum .
Tuttavia, la questione non è così elementare, in quanto il paradosso presenta una struttura esattamente parallela a un altro paradosso di Russel, quello dell'insieme di tutti gli insiemi che contengono se stessi come propri elementi. Russel presentò questo paradosso nel 1901, ed esso ebbe un grande impatto sul pensiero matematico del XX secolo. Riferendosi al rilievo del paradosso, il matematico tedesco Gottlob Frege, fondatore della moderna logica matematica, parlò di << tremori aritmetici >>.
Il nocciolo del paradosso di Russel è rappresentato dalla convinzione che per ogni descrizione o proprietà specificata esista un insieme corrispondente; cioè, un insieme viene costruito precisando una condizione necessaria e sufficiente per appartenere a tale insieme. Così, se fissiamo la condizione per essere un satellite della Terra nell'anno 100 a.C., tutto ciò che mostra di possedere queste caratteristiche – per esempio, la Luna – risulterebbe elemento dell'insieme dei << satelliti della Terra nel 100 a.C. >>. Se poi definissimo l'insieme dei << satelliti artificiali della Terra nel 100 a.C. >>, ci troveremo di fronte a un insieme vuoto, un insieme cioè che non ha elementi, ma che è pur sempre un insieme: l'insieme vuoto, come appunto si dice.
L'antinomia di Russel prende considerazione l'autoappartenenza di un insieme. Gli insiemi di oggetti non sono chiaramente membri di se stessi; ad esempio, l'insieme dei satelliti terrestri del 1980 non è elemento di se stesso, in quanto non ruota intorno alla Terra. Neppure l'insieme di tutti i libri di logica ricreativa è membro di se stesso; infatti, come hanno notato i logici americani James Carney e Richard Scheer, non ha pagine, non ha testo, non ha rilegatura nè prezzo.
Il fatto che gli insiemi di oggetti non contengano se stessi come elementi non significa che non esistano insiemi membri di se stessi. Si consideri, ad esempio, l'insieme di tutti gli insiemi che hanno più di dieci elementi. Esso conterrebbe molti insiemi, tra cui i seguenti: l'insieme di tutti i satelliti artificiali della Terra nel 1980, l'insieme di tutti i libri di logica ricreativa, così come l'insieme di tutti i gatti, l'insieme di tutti i cani, quello di tutti gli uccelli, quello di tutti i serpenti, quello di tutti i cammelli, quello di tutti gli uccelli marini e quello di tutti gli aironi; per non citare l'insieme di tutti i fiori, l'insieme di tutti gli ortaggi, l'insieme di tutti gli alberi, l'insieme di tutte le alghe, e così via. Dunque, è assolutamente chiaro che l'insieme di tutti gli insiemi contenenti più di dieci elementi ha esso stesso più di dieci elementi ed è perciò elemento di se stesso. Dopo tutto, se l'insieme di tutti gli insiemi che hanno più di dieci elementi non fosse elemento di se stesso, non sarebbe l'insieme di tutti gli isniemi con più di dieci elementi.
Torniamo ora a considerare quegli insiemi che non sono membri di se stessi: gli insiemi dei satelliti artificiali, dei libri di logica ricreativa, eccetera. La domanda diventa : << L'insieme di tutti gli insiemi che non sono elementi di se stessi è un elemento di se stesso? >> Per comoditàdi espressione chiamiamo X l'insieme di tutti gli insiemi che non sono elementi di se stessi. Se poniamo che X sia membro di se stesso, allora, per definizione, non è membro di se stesso, in quanto X contiene soltanto quegli elementi che non sono elementi di se stessi. Analogamente, se poniamo che X non sia elemento di se stesso, allora per definzione, è membro di se stesso, in quanto X contiene tutti quegli insiemi che non sono elementi di se stessi. quindi X non può nè essere nè non essere elemento di sè; tuttavia chiaramente, secondo la legge del terzo escluso, deve essere una cosa o l'altra. In linguaggio ordinario questo significa che l'insieme di tutti gli insiemi che non sono elementi di se stessi non è membro di sè, se e solo se è elemento di se stesso. Ci troviamo alla prese con una contraddizione.
Nella sua soluzioned del paradosso dell'insieme di tutti gli insiemi che sono elementi di se stessi, Russel confutò il principio di astrazione. Egli concluse che l'insieme di tutti gli insiemi che non sono elementi di se stessi non è un insieme. Come nota Quine nel suo saggio The Ways of Paradox :
Il principio di astrazione non può essere facilmente abbandonato. Il modo pressoché invariabile di specificare un insieme consiste nel definire una condizione necessaria e sufficiente per appartenere a esso. Una volta definita tale condizione, ci pare che un insieme sia << dato >> e non si riesce a immaginare che tale insieme non esista per nulla. Può essere vuoto, certo; ma come potrebbe non essere affato un insieme? Quale tipo di sostanza può, essere richiesta per tale insieme, che non sia fornita dalla condizione di appartenenza? Tuttavia queste osservazioni non servono a nulla di fronte all'antinomia, che semplicemente dimostra la insostenibilitàdel principio. E' un chiaro dato logico, una volta che si consideri l'antinomia, che non vi è alcun insieme, vuoto o d altro genere che abbia come elementi gli insiemi che non sono elementi di se stessi. Dovrebbe avere se stesso come elemento se, e solo se, non avesse se stesso come elemento.
Russel ritenne che si debba respingere la convinzione che esiste un insieme corrispondente a ogni predicato; cioè che, per ogni asserzione di una proprietào di una caratteristica, esiste necessariamente un insieme i cui elementi possiedono quella proprietào caratteristica. Russel giudicò privi di significato i predicati che danno origine a conseguenze contradditorie, nel senso che non producono un insieme. Secondo l'osservazione di Quine sopra citata, il semplice tentativo di definire un insieme dàl'errata impressione che esso esista, mentre quando si definisce un insieme, ciò che effettivamente si fa è presupporre la possibilità della sua esistenza. E' chiaro tuttavia che la definizione di un insieme, deve soddisfare le condizioni per la sua esistenza, tra le quali è anche il principio per cui tali condizioni definitorie non dovrebbero essere contradditorie. Così come non è possibile descrivere una figura geometrica come << cerchio quadrato >>: poichè le nozioni di quadrato e di cerchio sono tra loro contradditorie, non si può descrivere un insieme in termini di caratteristiche contradditorie.
Russel riuscì a eliminare il paradasso sostenendo che il principio di astrazione non è valido nelle situazioni in cui la condizione di appartenenza comprende l'appartenenza stessa. Questo, in effetti, elimina il paradosso e consente di usare il principio di astrazione in quegli ambiti della matematica in cui il concetto di insieme viene utilizzato in modo secondario e marginale. In ogni caso, fu enorme l'effetto di questa restrizione sulla teoria generale degli insiemi. Si introdusse l'uso di indici per distinguere i differenti livelli di linguaggio e tranquillizzare i logici a proposito della restrizione riguardante l'autoappartenenza. La soluzione offerta da Russel per il suo paradosso degli insiemi è simile, da questo punti di vista,alla soluzione proposta da Alfred Tarski per il paradosso del mentitore. Entrambe le soluzioni, inoltre, ci costringono a rifiutare nozioni di cui siamo profondamente e intuitivamente convinti, una riguardante gli insiemi e l'alatra riguardante la verità.
Esistono altri modi di superare la contraddizione presente nel paradosso di Russel, uno dei quali comporta la costruzione teorica degli insiemi basata su una logica a più valori e non sulla logica classica a due valorim vero o falso. In un sistema di questo genere, la negazione assume un significato diverso da quello tradizionale, ed è
quindi possibile per un insieme sia essere elemento di se stesso sia non essere elemento di se stesso.
Il paradosso di Russel sull'insieme di tutti gli insiemi che non sone elementi di se stessi presenta una notevole somiglianza al paradosso della eterologicitàdi Kurt Grelling e a quello del minimo intero di G.G. Berry. Tuttavia, a differenza di questi ultimi, il paradosso di Russel ha avuto un'effettiva influenza sullo sviluppo del pensiero matematico ed è ancora oggetto di discussione. E' notevole per la sua semplicità, in quanto implica soltanto nozioni di insieme e di appartenenza, mentre gli altri paradossi necessitano di un linguaggio complesso e ambiguo e presentano una natura essenzialmente semantica.