Il paradosso del postino

Nella crisi generale del fondamento - ossia del numero - che ha contraddistinto il secolo scorso e che ancora mantiene inalterati i suoi effetti anche oggi, sono molte le teorie nate proprio per cercare di riportare la matematica in una carreggiata nuova, in modo da salvaguardarla il più possibile come sistema a sé. Una di queste teorie, il logicismo, ideata nei primi anni del Novecento da Gottlob Frege, sosteneva che la matematica potesse essere ricondotta ad un sistema logico, a partire proprio dalla definizione del fondamento. La definizione di numero che in questo caso si diede fu questa: il numero è un insieme di classi, e più precisamente è l’elemento che accomuna queste classi. Ad esempio, il numero sette è l’elemento che accomuna i giorni della settimana - 'classe prima' -, i sette sigilli dell’Apocalisse - 'classe seconda' -, le sette meraviglie del mondo - 'classe terza' -, i sette nanieccetera eccetera. Ora, fin qui tutto bene. Il problema nasce quando si vuole accorpare più insiemi di classi, per esempio appunto l’insieme-classe '7' e un altro insieme ipotetico '8'. In questo sovra-insieme - lo chiameremo indicativamente '15' - cominciano a venire fuori le contraddizioni.
Bertrand Russell fu il primo ad accorgersene. Il filosofo inglese divise le classi in due tipi, insiemi normali e insiemi non normali.
Gli insiemi normali sono quelli che non contengono se stessi, ossia non hanno, nella loro totalità di classe, qualcosa che appartenga agli elementi contenuti. Per esempio, una classe di studenti non èuno studente, oppure una classe di mandarini non è a sua volta un mandarino.
Gli insiemi non normali sono invece quelli che contengono in qualche modo se stessi, la cui totalità cioè appartiene ai componenti di cui è fatta. Un esempio? Il catalogo di una biblioteca: in questo caso anche il catalogo è un libro, e in quanto tale deve essere incluso all’interno della lista - o del catalogo, appunto. E qui nasce il paradosso.
Paradosso del barbiere. Parlando di sovra-insiemi, il barbiere sarebbe 'colui che rade tutti coloro che non si radono da soli' - ossia il barbiere è il sovra-insieme che tiene uniti gli altri insiemi, ossia i clienti. Ora, chi rade il barbiere? Se si radesse da solo, non sarebbe più un barbiere, perché raderebbe uno che già si rade da sé. Se non si rade, però, dovrebbe andare dal barbiere, ossia non esserlo lui stesso. Come fare? Farsi crescere la barba forse è meglio…
Paradosso del postino. Il postino è per definizione ‘colui che prende la posta per coloro che non la prendono da sé’. Certo, ma chi diavolo la prende la sua posta? Se la prendesse lui stesso non sarebbe più un postino, perché appunto diventerebbe immediatamente ‘uno che la posta se la prende da sé’. E se non la prende? Se non la prende deve aspettare il postino, ma il postino non arriva perché è lui il postino, e sta aspettando per l'appunto di arrivare! E allora? Allora meglio rinunciare alla posta, e fare tutto per email…
Paradosso del bibliotecario. In un catalogo normale di una biblioteca, abbiamo detto, il catalogo non è incluso nell'elenco dei volumi; in un altro non normale invece sì. Ora, cosa accadrebbe se un bel giorno il direttore generale delle biblioteche di una città - un enorme sovra-insieme, quindi - volesse provare a creare un catalogo di tutti i cataloghi non normali delle biblioteche della suddetta città? Lascio a voi la risposta…