Il postulato di partizione del piano e il Valletto di Alice nel Paese delle Meraviglie

Come abbiamo avuto modo di vedere anche in altri post (la didattica della matematica con le opere di Lewis Carroll; i connettivi logici in Alice nel Paese delle Meraviglie: il sorriso del Gatto del Cheshire), Alice nel Paese delle Meraviglie è un romanzo intriso di riferimenti logico-matematici, che rispecchiano la formazione di base del suo geniale autore Lewis Carroll. Vediamo ora un'altra scena che ci possiamo divertire ad esprimere secondo alcuni concetti matematici, indipendentemente dal fatto che Carroll l'abbia potuto fare intenzionalmente o meno.

Alice alla prese con
 il Valletto-Rana

Il capitolo VI di Alice nel Paese delle Meraviglie vede la nostra amata protagonista trovarsi di fronte alla casa della folle Duchessa. Prima di provare a bussare alla porta, Alice assiste ad una scena simpatica: un Valletto-Pesce sopraggiunge di corsa, bussa e ad aprirgli trova un Valletto-Rana, al quale consegna una lettera contenente l'invito ufficiale per la Duchessa a giocare a croquet con la Regina. Poco dopo, il Valletto-Pesce sparisce e il Valletto-Rana, che prima era dentro casa, viene scaraventato fuori casa e la porta viene chiusa.
Allora Alice non si perde d'animo, prova a bussare ma viene subito redarguita dal Valletto-Rana, che dice:  "Invano ti affanni a bussare [...], perché sto dalla stessa parte della porta in cui sei tu; [...] il tuo bussare avrebbe già più senso se la porta stesse tra me e te. Per esempio, se tu fossi dentro, potresti bussare e io ti farei uscire". E ovviamente, è ostinato fino alla fine a non far entrare Alice, perché la situazione "non ha senso" ^__^. Quello che afferma il Valletto, per quanto banale possa sembrare, è espresso anche in termini geometrici da un postulato alla base della geometria euclidea, il postulato di partizione del piano, secondo il quale una retta r di un piano divide il piano in 2 parti in modo che se due punti A e B appartengono alla stessa parte, allora il segmento AB è contenuto in questa parte; se i punti appartengono a parti diverse, allora il segmento AB interseca la retta r in un punto. In parole povere, non c'è verso di "aggirare" la retta r, se i punti si trovano in semipiani opposti, per cui qualsiasi segmento AB, in tal caso, dovrà intersecare per forza la retta r; in caso contrario, se A e B si trovassero nello stesso semipiano, allora il segmento AB sarebbe tutto contenuto nello stesso semipiano e non intersecherebbe la retta r. Il Valletto, in effetti, esprime proprio questo semplice concetto nei due casi possibili, che possiamo schematizzare con le 2 situazioni in figura, in cui Alice ed il Valletto sono indicati rispettivamente con A e B, mentre la porta, pur non essendo illimitata ed infinita, rappresenta la retta r, in quanto comunque non è valicabile, essendo chiusa: Come si può vedere, nel primo caso Alice potrebbe entrare, dal momento che il Valletto, preposto alla funzione di aprire la porta e far entrare eventuali ospiti, si trova dietro di essa e può quindi aprire, e in tal modo Alice può attraversare la retta-porta, secondo il postulato; nel secondo caso il postulato è ugualmente rispettato, perché il Valletto è stato scaraventato fuori, dunque se non c'è lui, non può aprire nessuno, e il segmento avente per estremi Alice ed il Valletto giace tutto nel semipiano esterno alla casa.