I ragazzi per la prima volta avevano osservato la matematica da un punto di vista differente. Tutti quanti, fatta eccezione per Leo, l'avevano sempre considerata una materia arida, inutile e incomprensibile.
Il nuovo insegnante, invece, era riuscito a mostrare che la matematica è straordinaria, ricca di collegamenti multidisciplinari e persino alla base dei videogame.
Quella a cui avevano assistito sembrava una lezione utopica, uscita magari da qualche film, ma si trattava di pura realtà!
Anche le affascinanti vicende storiche avevano colpito nel segno. Fu incredibile scoprire che persino gli uomini dell'epoca neolitica si dilettavano a giocare con dei dadi primitivi e che Blaise Pascal fosse riuscito a conseguire eccezionali risultati in un lasso di tempo così breve.
Persino negli studenti più svogliati si era "accesa" una piccola fiammella di curiosità nei confronti di ciò che stava accadendo in classe.
Il ricordo del prof. Trinciamucche stava pian piano svanendo dai pensieri dei giovani discenti, lasciando spazio al gran desiderio di assistere a una nuova memorabile lezione del prof. Merlino.
Quella notte Leo fece davvero fatica ad entrare nel mondo dei sogni. I suoi pensieri non riuscivano a non indirizzarsi sulla superlativa lezione del professore, facendo alzare l'attesa e il desiderio di poter assistere a quella succesiva.
La mattina seguente il giovane si risvegliò ancora più emozionato rispetto al primo giorno di scuola. Lo attendevano ore di delizia intellettuale.
Ore 9. Nuova lezione del prof. Merlino.
Questi si presentò in aula con la classica pacatezza e dolcezza dei modi che lo contraddistingueva.
Lo spettacolo stava per cominciare!
Era rimasta in sospeso la questione della velocità d'attacco.
"Velocità! Un concetto fondamentale. Lo ritroviamo in ogni cosa, dalle corse di auto alle gare di atletica, dalla prontezza di un computer nel scaricare un file a quella più o meno grande di uno studente nello svolgere i suoi compiti. Ma cos'è la velocità precisamente?" chiese il professore alla classe.
"Il rapporto tra spazio percorso e tempo impiegato a percorrerlo" rispose una studentessa nella prima fila di banchi.
"Sì, in linea generale, non è sbagliata questa definizione, però è molto vaga ed approssimativa! Potrebbe essere vista come definizione di velocità media. Un'auto percorre un certo tratto di strada e ci mette un certo tempo, allora la sua velocità media è il rapporto tra lo spazio percorso e il tempo impiegato. Ok! Ma questa definizione non tiene conto del fatto che la velocità di un'automobile, nella vita reale, non rimane costante, ma varia costantemente durante il tragitto. Avete mai sostenuto un viaggio mantenendo sempre la medesima velocità? Non credo proprio! Sarebbe utopico per un essere umano un viaggio del genere! Nella realtà abbiamo dunque a che fare con variazioni di velocità, o meglio, con accelerazioni - si scrive con una sola "l", mi raccomando. E se poi volessi sapere la velocità precisa che la mia auto ha in un certo punto del percorso non potrei fare affidamento su una definizione così banale. Qual è quel potente strumento matematico che permette di andare ad analizzare le variazioni infinitesime di una certa grandezza? Dovrebbe avervelo spiegato il mio collega!" esclamò il prof.
"La derivata" disse Leo.
"Giusto, proprio la derivata! Sarebbe davvero assurdo far vedere che tal importantissimo concetto risulti limitato all'ambito dell'analisi matematica, che si "studia" nel V anno di liceo . Le sue applicazioni in fisica, chimica e in diversi altri campi sono innumerevoli. Se Newton non avesse introdotto la derivata, la fisica non si sarebbe sviluppata così tanto nel corso di pochi secoli. Basti pensare che la meccanica quantistica, branca fondamentale della fisica moderna, si poggia su un'equazione alle derivate parziali, l'equazione di Schrödinger, fisico famoso ai più per il bizzarro paradosso del gatto nella scatola, raccontato anche nella celebre sit-com televisiva The Big Bang Theory. Non desidero distogliere l'attenzione dal concetto di velocità, ma brevissimamente, per chi non lo conosce, spiegherò il paradosso.
Immaginate di mettere in una scatola un gatto. Questa scatola dovrà contenere un atomo radioattivo che potrebbe decadere innescando un meccanismo che va ad attivare il rilascio di un martelletto, che a sua volta va a rompere una fiala di veleno letale, con la conseguente morte del felino.
Ergo, l'atomo può decadere o non decadere e, a seconda dei casi, il gatto vive o muore. Fin qui nulla di strano, a parte la follia di mettere un gatto in una scatola mortale! Secondo l'impostazione classica (detta di "Copenaghen") della meccanica quantistica, tuttavia, fin quando la scatola non viene aperta, mostrando l'evento accaduto, il gatto si trova in una sorta di limbo tra la vita e la morte, un po' come lo sciamano quando usa la passiva "Ricettacolo spirituale". In parole povere, il gatto è vivo e morto simultaneamente! Ecco il paradosso!
Mi raccomando, non provateci a casa! Questo è solo un esperimento mentale; nessun gattino, per fortuna, è stato mai preso come cavia per il suddetto! Rapidamente ritorniamo alla nostra tematica odierna: la velocità. Stavamo dicendo che uno strumento chiave per descrivere la velocità è la derivata. Qualcuno sa dirmi cos'è la derivata?" domandò l'insegnante.
"Geometricamente è il coefficiente angolare - la pendenza - della retta tangente ad una certa curva in un punto. Una definizione più precisa fa invece uso del concetto di limite, altro pilastro dell'analisi matematica. Data una certa funzione, quindi una certa curva, la derivata non è altro che il limite a cui tende il rapporto incrementale della funzione quando l'incremento tende a 0.
Animazione sulla derivata (significato geometrico)
In parole povere, la derivata ci dice "quanto velocemente" una funzione cresce o decresce eseguendo uno spostamento su di essa piccolissimo, infinitesimale." asserì Leo.
"Proprio così. Bravissimo Leo, potresti benissimo prendere il mio posto! A parte gli scherzi, la matematica non è fatta di discorsi articolati e pomposi; basta una manciata di simboli per esprimere in maniera concisa concetti essenziali come la derivata." furono le parole del professore, che scrisse alla lavagna una "magica" formula:
Questi simboli che ad un occhio inesperto potrebbero apparire incomprensibili, sono in verità cristallini ad un matematico. Analizziamola passo passo questa equazione.
Il primo simbolo che compare, f'(x₀), non fa altro che indicarci in pochi caratteri la derivata della funzione f considerata nel generico punto denominato x₀.
Dall'altra parte dell'uguale ci aspetta ansioso il nostro amico limite. Niente è lasciato al caso: sotto alla scrittura "lim" riusciamo a trovare i dettagli su quell'operazione. Quel piccolo passo sulla curva, chiamato h, deve tendere al valore 0. E poi c'è quella frazione, su cui il limite agisce, che ci mostra una differenza tra la funzione calcolata un passettino avanti e calcolata nel punto di partenza, la quale differenza viene poi divisa per il minuscolo passettino h.Dovete immaginare il limite come un generale che va a dire al suo soldato "Tu ora mi devi far andare h vicino allo 0. Non è una gentile richiesta, è un ordine!".
Detto ciò, possiamo vedere come il concetto di velocità istantanea, ossia la velocità in un preciso istante temporale, sia descritto proprio dalla derivata." Un'ulteriore equazione venne raffigurata sulla lavagna:
"La velocità istantanea è la derivata della posizione rispetto al tempo. Quella notazione, dovuta a Leibniz -altro padre dell'analisi assieme a Newton -, che sfrutta la "d" minuscola altro non è che un modo differente di presentare il concetto di derivata. Quel dr/dt non è appunto una frazione come siamo abituati a vederle; è una derivata.
Se voi conosceste la legge matematica (legge oraria) che descrive il percorso, in funzione del tempo, del supereroe dei fumetti Flash per raggiungere il luogo in cui compiere una certa missione, allora attraverso una derivazione potreste constatare qual è l'incredibile velocità che egli sta tenendo in un preciso istante di tempo."
"E la velocità d'attacco su Diablo?" chiese uno studente.
"Ci stavo arrivando. Su Diablo 3 c'è un valore che si chiama "attacchi al secondo", il quale viene incrementato da delle statistiche, ritrovabili sugli oggetti, di "velocità d'attacco aumentata".
Questo valore "attacchi al secondo" in realtà, più che una velocità vera e propria, dovremmo definirla una frequenza. Immaginiamo di avere un valore pari a 1. Ciò comporterebbe che il nostro personaggio ogni secondo riuscirebbe a scagliare un singolo attacco. Se però incrementassimo la "velocità d'attacco" fino a raggiungere i 2 attacchi al secondo, allora ogni secondo riusciremmo a scagliare ben 2 attacchi. Attaccare in Diablo 3 è dunque un fenomeno periodico, un fenomeno che si ripete appunto con una determinata frequenza, non velocità! Le velocità si misurano infatti in metri al secondo, le frequenze in numero di "azioni" effettuate in un certo intervallo di tempo - rigorosamente in hertz (Hz). Queste azioni potrebbero essere dei giri completi di un vinile sul giradischi, delle pulsazioni di luce, ecc.
Luci pulsanti con frequenze diverse misurate in Hz
La frequenza è un concetto importantissimo. Compare persino nella celebre legge di Planck che va a definire l'energia non come un qualcosa di continuo, bensì come "pacchetti discreti" noti come quanti.
La legge di Planck, in particolare, ci dice che l'energia E associata a una certa radiazione elettromagnetica è data dal prodotto della frequenza ν della radiazione per una costante h, detta costante di Planck:
Anche quando ascoltate la sirena di un'ambulanza starete constatando un fenomeno dipendente dalla frequenza (delle onde sonore). Questo fenomeno è noto come effetto Doppler. Se l'ambulanza si avvicina a voi, la lunghezza d'onda del suono diventa più piccola, incrementando la frequenza del suono percepito.
Quando invece si allontana, la lunghezza d'onda del suono diviene più grande, comportando un abbassamento della frequenza del suono.
La legge matematica che descrive ciò è quella che vi scriverò adesso:
La frequenza f da voi percepita dipende dalla frequenza f₀ delle onde sonore emesse dal'ambulanza, dalla velocità v delle onde nel mezzo di trasmissione (l'aria) e dalla velocità vs, r della sorgente (l'ambulanza) rispetto al mezzo." spiegò il prof. Merlino.
La lezione continuò con approfondimenti sui concetti di velocità e frequenza, oltre che con test dal vivo del concetto di velocità d'attacco su Diablo 3.
Gli studenti ne furono entusiasti.
Il prof. Merlino, in soli 2 giorni, aveva reso la scuola un luogo non solo di grande arricchimento culturale, ma anche di divertimento.
Passarono i giorni e le lezioni, oltre ad affrontare i classici argomenti di analisi matematica, prendevamo spesso direzioni molto interessanti e multidisciplinari.
Mesi dopo il lupo cercò di tornare dalle pecore! Il prof. Trinciamucche si era ripreso abbastanza ed era pronto a ritornare al suo posto.
Decise di presentarsi spavaldo nella sua classe durante una lezione di Merlino.
"Senta lei, questo è il mio posto di lavoro. Adesso mi sono ripreso e lei deve andare via. Non mi interessa se ha creato un buon legame con gli studenti, il loro vero professore di matematica sono io!". esclamò Trinciamucche.
Merlino attese 5 secondi e poi gli rispose, mantenendo il suo tipico tono pacato: "Mi permetta, caro collega, di dire che il suo atteggiamento nei confronti dei suoi allievi e di un suo collega è scorretto e ingiustificabile. Lei stava contribuendo a far crescere in questi ragazzi l'odio per la matematica. Questi modi di fare non posso tollerarli. Pagherà le sue conseguenze".
All'improvviso una bacchetta magica comparse nella mano destra del prof., il quale immediatamente esclamò una formula magica in latino.
L'incantesimo investì in pieno Trinciamucche, che in pochi secondi si trasformò in una piccola mucca! Le risate a crepapelle dei giovani allievi non tardarono ad arrivare!
"Professor Trinciamucche, lei resterà un umile bovino fin quando non capirà cosa significa veramente svolgere il mestiere di insegnante, parola di Merlino!".
Non tutti coloro che hanno avuto la fortuna di assistere alle meravigliose lezioni del prof. Merlino sono diventati matematici, ma sicuramente quegli insegnamenti indimenticabili sono stati importanti nel proseguimento del loro percorso di vita! Quegli studenti avevano preso parte a qualcosa di unico e forse irripetibile!
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Questa è la quarta ed ultima parte del racconto dedicato al tema "La matematica che vorreste a scuola". Qui, qui e qui rispettivamente le 3 parti precedenti.