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[¯|¯] Integrale principale di Cauchy (o "Parte principale di Cauchy")

Creato il 26 marzo 2019 da Extrabyte
[¯|¯] Integrale principale Cauchy

È facile persuadersi che la funzione

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non è integrabile in [-a,b], dove a,b>0. Fissiamo la successione {Tn}, dove
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per cui

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come illustrato nella figura al top di questa pagina. Segue
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Cioè
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è l'integrale improprio relativo alla successione {Tn} della funzione f(x)=1/x esteso a [-a,b]. In simboli

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La scelta di una successione "simmetrica" rispetto alla singolarità, pur essendo una convenzione, è vitale per poter definire univocamente l'integrale principale di Cauchy. Infatti, se prendiamo
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si ha
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cioè un valore diverso.

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