I punti angolosi del grafico di una funzione reale di una variabile reale si prestano a una interessante interpretaziuone cinematica. Per essere più precisi, consideriamo una pallina che si muove in un piano di moto uniforme. Fino a un istante t0 la traiettoria è una retta assegnata; a t0 la pallina devia "istantaneamente" percorrendo un'altra retta con velocità costante, come mostrato nella fig. al top di questo post. In altri termini, in t0 la velocità ha una discontinuità di prima specie: il suo modulo è costante, ma la direzione muta istantaneamente. Per quanto precede, la componente secondo l'asse y della velocità della pallina è:
il cui grafico è:
Osservando che la derivata della funzione di Heaviside è la delta di Dirac, si ha che la componente y dell'accelerazione è:
Se m è la massa della pallina, la forza agente su di essa è:
che espressa in funzione dell'ordinata y:
Abbiamo così trovato che la pallina è sottoposta a una forza posizionale e come tale derivabile da un'energia potenziale:
il cui grafico è:
Ne consegue che l'energia potenziale V, e quindi il potenziale U=-V, si esprime attraverso una combinazione lineare di funzioni di Heaviside. Ciò suggerisce di chiamare la grandezza U potenziale di Heaviside
Ne concludiamo che una particella che si muove in un campo di Heaviside ha un'accelerazione deltiforme.
Per i dettagli matematici, consultare il seguente file pdf:
campo_heaviside.pdf