Sfera reale centrata nell'origine e di raggio unitario
Nello studio delle equazioni differenziali alle derivate parziali ci si imbatte in particolari curve dnominate linee critiche sulle quali il problema di Cauchy o è incompatibile o è indeterminato (cioè, non ammette nessuna soluzione o ne ammette infinite).
Ad esempio, nel caso dell'equazione di Laplace in due variabili (x,y) le linee critiche sono le rette isotrope del piano cartesiano x,y. Con tale locuzione si intende una particolare classe di enti geometrici "immaginari", cioè appartenenti allo spazio complesso. Quest'ultimo deriva da una estensione complessa (nota anche come complessificazione) di uno spazio affine/euclideo. Ne consegue che per intraprendere lo studio delle equazioni differenziali alle derivate parziali (che è uno degli argomenti più ostici dell'Analisi matematica), è necessario approfondire lo studio dei suddetti enti immaginari. Ciò sarà l'argomento di un prossimo ebook liberamente scaricabile. Per ora anticipiamo che nelle complessificazione ci si imbatte in strani "oggetti" dalle proprietà tutt'altro che ovvie, anzi spesso e volentieri anti-intuitive. Un esempio è fornito dalle rette isotrope che per quanto precede svolgono un ruolo cruciale nell'equazione di Laplace. Una retta isotropa ha per numeri direttori le componenti di un vettore isotropo. Quest'ultimo è un vettore complesso non nullo di modulo nullo. Una proprietà immediata è che una retta isotropa è perpendicolare a se stessa. Tale circostanza giustifica la denominazione di retta isotropa. Per essere più precisi, l'isotropia esprime l'invarianza di una specifica proprietà rispetto alla direzione di un assegnato spazio. Nel caso delle rette isotrope, l'isotropia esprime l'identificazione del parallelismo con l'ortogonalità.
Un'altra proprietà anti-intuitiva è data dalla sfera immaginaria di raggio nullo (che è l'argomento di questo post). Mentre nel caso reale una sfera di raggio nullo si riduce a un unico punto, e cioè il suo centro, nel caso complesso una sfera immaginaria di raggio nullo non solo ha infiniti punti (immaginari) ma per particolari valori delle coordinate del centro, interseca i piani coordinati secondo circonferenze reali.