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[¯|¯] Separazione di variabili e integrali costanti

Creato il 18 luglio 2017 da Extrabyte
equazioni differenziali,integrale generale,costante di integrazione Fig. 1. Alcune curve integrali dell'equazione differenziale assegnata. Al crescere indefinito di |C| le curve integrali tendono ad "adagiarsi" sulle rette orizzontali y=±1. Nel limite |C|->+oo le curve tendono alle predette rette orizzontali

Integrare l'equazione differenziale:

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Soluzione
Scriviamo l'equazione in forma normale
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vediamo immediatamente che è a variabili separabili. Prima di separare le variabili, determiniamo gli eventuali integrali costanti. Deve essere
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per cui
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sono gli integrali costanti dell'equazione assegnata. Separando le variabili e integrando
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Segue
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Definendo una nuova costante di integrazione C=e-2C1, si ha
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Prenendo C tale che C(y²-1)>0 l'equazione precedente si scrive:

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da cui l'integrale generale
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che per |C|->+oo riproduce gli integrali costanti y=±1.

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