Alla fine del post, troverete i link ai nove capitoli già pubblicati. Appena possibile, riunirò i dieci capitoli in un unico ebook, che renderò disponibile al download.
Buona lettura!
STORIE
DI NUMERI
DI TANTO TEMPO FA
di
David Eugene Smith(Traduzione di Anna Cascone)CAPITOLO XStrani problemi davanti al focolare
«Avete ancora un po’ di immaginazione?» chiese il Cantastorie, «o siete troppo orgogliosi per confessare che non ne avete? Siete tra quegli sfortunati ostacolati dal capanno della legna dove l’ultima volta si è riunito il gruppo di ragazzi provenienti da molte terre e da molte epoche? Poiché se non avete immaginazione, oppure se temete di confessare che non ne avete, dovreste voltarci le spalle; qui ci sarà sempre il capanno della legna al confine con la foresta.
Il gufo è stato qui, e il fuoco arde. Lo scoiattolo ha guardato attraverso la finestra e ha visto le sedie vuote. Il coniglio ha aspettato di sentire in vano dei passi. E ancora, per qualche motivo, in modo misterioso, da qualche parte sono giunti i nostri amici del passato – Ching e Chang e An-am e Lugal e tutti gli altri. Mentre un attimo fa le sedie erano vuote, adesso vi si sono seduti i ragazzi di migliaia di anni fa, di ieri e di oggi, ognuno con una matita e un pezzo di carta, ognuno con uno strano problema risalente a tanto tempo fa. Non credo che i ragazzi fossero davvero lì – solo il loro Ricordo, ma questo è il regno dell’immaginazione, quindi non ci fate assomigliare a quegli stupidi che non credono che i Ricordi possano parlare.»
«Il problema che ho portato» disse Mohammed, «è molto antico e lo appresi da un arabo più di mille anni fa. È così facile che sembra difficile ma se non cercherete di renderlo difficile, risulterà molto facile. È più facile renderlo facile, tuttavia molte persone trovano abbastanza difficile renderlo facile.»
«Be’, se è difficile renderlo facile così come lo è la vostra affermazione, allora deve essere terribilmente difficile» disse Cuthbert.
«Non li vogliamo quelli facili» disse Cuthbert, «quindi dacci un bel rompicapo.»
«C’erano due arabi seduti per mangiare,» disse Mohammed, «uno con cinque pagnotte e l’altro con tre, tutte dello stesso prezzo. Proprio mentre stavano per iniziare, sopraggiunse un terzo arabo e gli propose di mangiare con loro, promettendo di pagare otto centesimi per ogni porzione del pasto. Se tutti mangiavano in parti uguali e consumavano tutto il pane, come sarebbero stati divisi gli otto centesimi? Ricordate che un arabo fornì cinque pagnotte e l’altro ne fornì tre.»
«Mentre ci pensate,» disse Cuthbert, «ne ho un altro. Un uomo aveva cinque pezzi di catena, ognuno con tre anelli. Chiese al fabbro quanto gli sarebbe costato trasformarli tutti in una sola lunga catena. Il fabbro rispose che gli sarebbe costato due centesimi per tagliare ogni anello e due centesimi per saldare o agganciare ogni anello. A quanto ammonta la spesa per il fabbro?»
La compagnia discusse per un po’ e non si mise d’accordo sulla risposta.
Alla fine Lugal disse: «Ci sono! Vedete che è così: tutto quello che dovete fare è -»
«Non dircelo» dissero i ragazzi.
«Vi darò un problemino» disse Johann, «ma vi avverto che c’è un trucco. Come disporreste i numeri 1, 6, 8 in modo che il numero di tre cifre che otterrete sia esattamente divisibile per 9?»
«Non si può fare» disse Filippo, dopo averci pensato per un attimo.
«Sì che si può» disse Johann, «ma c’è un trucco e potete pensarci fino a domani.»
«Ricordo alla mia epoca» disse Leonardo, «un problema molto famoso che sentii per la prima volta da uno studioso arabo. Mi disse che quando furono inventati gli scacchi, il re di Persia fu invaso da una gioia immensa e ordinò che fossero collocate delle scacchiere in tutti i templi del regno.»
“Inoltre,” disse all’inventore del gioco, “dimmi cosa farai”. Allora l’inventore rispose, “Datemi, o sovrano, un solo chicco di grano da posizionare sul primo quadrato della scacchiera, due nel secondo, quattro nel terzo e così via, raddoppiando il numero ogni volta, fino a quando tutti e sessantaquattro i quadrati non vengano riempiti.”
«Sarete curiosi, penso, di sapere quanti cicchi di grano sono necessari.»
«Quanti ce ne sono?» chiese Ching.
«Più di cento» disse An-am.
«Eccome!» disse Leonardo; «poiché fate 1+2+4+8+16+36+64+128+256+ e così via, per tutti e sessantaquattro i quadrati e dal momento che i tre numeri successivi sono 512, 1024 e 2048, vi rendete conto che aumentano in fretta. La somma totale dei chicchi è enorme; è 18.446.744.073.709.551.615 e ciò è più del grano presente in tutto il mondo.»
«Ricordo», disse Cuthbert Tonstall, «un problema simile a questo. Secondo questo problema, un uomo voleva che un fabbro gli ferrasse il cavallo. Il fabbro disse che lo avrebbe fatto se fosse stato pagato un centesimo per la prima unghia, due centesimi per la seconda, otto centesimi per la quarta e così via, raddoppiando la paga ogni volta. Per ventiquattro unghie, quanto sarebbe costato ferrare il cavallo? La risposta è -»
«Non dircelo» proruppero i ragazzi.
«Possiamo risolvere questo semplice problema per noi stessi.»
«Ecco un problema interessante che ricordo di aver visto molti anni fa» disse Michael. «Una ragazza trasportava un cesto di uova e un uomo a cavallo fece cadere il cesto e si ruppero tutte le uova. Volendo pagare il danno, chiese alla ragazza quante uova avesse. La ragazza disse che non lo sapeva, ma si ricordava che quando ne contava due per volta, ne avanzava uno; quando ne contava tre per volta, avanzava sempre un uovo; quando ne contava quattro per volta, ne rimaneva sempre uno; ma quando ne contava cinque per volta, non rimanevano uova.»
“Be’,” disse l’uomo, “adesso so dirti quanti ne avevi.”
«Mi chiedo» continuò Michael, «quanti di voi mi sanno dire il numero di uova?»
«Penso» disse Adriaen, «che ci sia più di una risposta.»
«Sì» rispose Michael, «ma forse la ragazza non aveva più di quattro o cinque dozzine di uova nel cesto e c’è una sola risposta inferiore a questi numeri.»
«Sappiamo trovare la risposta» dissero in molti.
Allora la lascio a voi.
«Quando ero ragazzo» disse Titus, «ricordo di aver sentito un problemino semplice portato a Roma da Alessandria d’Egitto: Un mulo e un cavallo trasportavano alcune balle di stoffe. Il mulo disse al cavallo, “Se mi dai una delle tue balle, ne trasporterò tante quante ne trasporti tu.”
“Se me ne dai una delle tue,” rispose il cavallo, “trasporterò due volte quelle che trasporti tu.”
Quante balle trasportava ognuno?»
«Sì,» disse Leonardo, «l’ho sentito anch’io quando ero ragazzo, e quando sono diventato un uomo l’ho messo nella mia aritmetica.»
«La risposta» disse Titus, «è -»
«Oh, è troppo facile; sappiamo risolverlo» disse Cuthbert e ciò incontrò l’approvazione della compagnia, «quindo lo lascio a voi.»
«Anche se sono nato a Firenze» disse Filippo, «i miei genitori una volta mi hanno portato a Venezia. Lì ho scoperto che gli orologi battono da 1 a 24 anziché da 1 a 12. Ero molto interessato a sapere quanti colpi desse un orologio in ventiquattro ore, e così aggiunsi i numeri da 1 a 24. Ma in seguito imparai che c’era un modo più breve per trovare la risposta. Voi conoscete questo modo?»
Con ciò la compagnia tacque per un minuto, quando Leonardo si ricordò che l’aveva scritto in uno dei suoi libri dopo essere diventato un uomo, e Cuthbert si ricordò che stava anche nel suo libro e pure Michael; quindi forse sarebbe meglio che la scoprisse qualcuno di voi.
«Si sta facendo tardi» disse Robert Record, «e non abbiamo tempo per altri problemi.»
«Solo qualcun altro» gridò la compagnia.
«Be’,» disse Robert, «chi ha qualche problemino che ci darà da pensare?»
«Io ne ho uno» disse Caius.
«Bene, continua» disse Robert.
«L’ho sentito da un maestro greco che venne a Roma quando ero ragazzo» disse Caius.
«Un giorno giocavo nel Foro quando sopraggiunse questo maestro greco e si fermò nel punto in cui alcuni di noi ci lanciavamo la palla l’un l’altro. Mi chiese quanto avrebbe impiegato Achille a superare una tartaruga ad un miglio di vantaggio. Gli dissi che dipendeva da quanto corresse veloce Achille.
“Be’,” disse, “supponiamo che Achille corra dieci volte più veloce della tartaruga e che percorra un miglio in dieci minuti.”
“Allora,” dissi io, “ci impiegherà circa quindici minuti.”
“No,” disse, “Achille non potrà mai superare la tartaruga.”
Non mi piaceva contraddirlo ma gli dissi che ero sicuro che io avrei raggiunto una tartaruga in un intervallo di tempo molto breve.
“Ecco come dovrebbe essere” rispose. “Quando Achille raggiungerà il punto in cui si trovava la tartaruga, la tartaruga sarà avanti di 1/10 di miglio perché la tartaruga corre 1/10 più veloce di Achille.”
“Sì,” dissi.
“E quando Achille raggiungerà il punto in cui si trovava la tartaruga prima, la tartaruga sarà avanti di 1/100 di miglio.”
“Sì,” risposi.
“E quando Achille raggiungerà il punto in cui si trovava la tartaruga prima, la tartaruga sarà avanti di 1/1000 di miglio.”
“Sì,” dissi, “ma 1/1000 di miglio corrisponde solo a cinque piedi.”
“Sì, ma non capisci che quando Achille raggiungerà quel punto, la tartaruga sarà avanti di 1/10 di quella distanza?”
“Sì,” risposi.
“Quindi” disse, “visto che Achille deve sempre raggiungere il punto in cui si trovava prima la tartaruga, e che la tartaruga è sempre avanti di 1/10 dall’ultima distanza, Achille non potrà mai superare la tartaruga.”
Era troppo per tutti noi ma smettemmo di giocare a palla e cominciammo a pensare al problema del maestro greco. Fu circa duemila anni fa e non ho ancora capito come Achille non abbia mai superato quella tartaruga. Credo che la tartaruga starà sempre un po’ più avanti di Achille.»
«Non so come aiutarti» disse Cuthbert, «ma ti darò qualcos’altro a cui pensare. Sapete dirmi come dividere dieci zollette di zucchero in tre tazze in modo che ogni tazza possa contenere un numero dispari di zollette?»
«Non si può fare» disse Wu.
«È perché non sai come si fa» rispose Cuthbert. «Prova così: In una scatola ci sono sei mele. Dividile in parti uguali tra sei ragazzi in modo da lasciare una mela nella scatola, ma non tagliarne nessuna.»
Mentre alcuni ragazzi pensavano al problema di Cuthbert, Wu ne disse un altro: «Un uomo vendette la sua fattoria per $5000, che è quanto gli è costata, poi la riprese per $4500 e la rivendette per $5500. Quanto guadagnò?»
«Guadagnò $1500» disse Adriaen.
«Sbagliato» rispose Wu.
Qualcuno di voi sa dirmi quanto guadagnò?
«Vi darò un bel rompicapo» disse Ching. «Qual è quel numero a due cifre che moltiplicato per 8 dà 20?»
«Non esiste questo numero» disse Lugal.
«Deve esserci un trabocchetto» disse An-am.
«Sì, ma dopotutto è un bel trabocchetto» rispose Ching «e lascerò che ci pensiate.»
«Sapevate che sei più sei fa undici?» chiese Titus.
«È uno di quei vecchi trucchetti con i numerali romani» disse Cuthbert.
«Se sapete dimostrarlo, sapete dimostrare anche che quattro più quattro fa nove e sette più sette fa dodici.»
«Certo che lo so fare» disse Titus.
I ragazzi pensavano che fosse troppo facile. E voi cosa ne pensate?
«Eccone uno ancora meglio» disse Titus. «Tre fratelli si divisero quattro mele tra loro in modo che l’uno non avesse più dell’altro e che nessuna mela venisse divisa. Spiegate com’era possibile.»
«Non si può fare» disse Menes.
«Oh sì che si può» disse Titus.
«Be’, allora c’è un trucchetto» disse Jakob.
«Certo che c’è» rispose Titus, «ma è un bel trucchetto che non potete immaginare.»
«Ognuno deve aver avuto una mela e un terzo» disse Chang.
«No, perché le mele non potevano esere divise in parti uguali.»
«Be’, non riesco proprio a capire» disse Chang, «e voglio avere più tempo per pensarci.»
Gli altri ragazzi sorrisero perché nessuno sapeva come risolverlo. Voi avete capito?
«Eccone altri due semplici» disse Leonardo «ma assomigliano a quelli che vi hanno già dato: Come fate a dimostrare che la metà di 18 è 10?»
«Questo mi riporta alla memoria alcuni dei nostri problemi romani» disse Titus.
«A mala pena» rispose Leonardo. «Ecco l’altro: Quale numero, non composto da uno, rimane uguale quando viene girato al contrario?»
«Sono troppo facili» dissero i ragazzi.
«Se volete un trabocchetto cattivello, eccone uno» disse Johann. «Prendete undici biglie, sottraetene cinque, aggiungetene tre e il risultato è otto.»
«Non è possibile» disse Leonardo. «Il risultato è nove.»
«Dipende da come lo fai» rispose Johann. «Te l’avevo detto che c’era un trabocchetto cattivello.»
Deve essere stato proprio cattivello perché fece scervellare tutti i ragazzi.
«Conosco un antico rompicapo inglese» disse Cuthbert, «ma so che non lo indovinerete mai.»
«Non c’è niente di male nel provarci» disse Wu.
«Be’,» disse Cuthbert, «dimostrate come sottrarre 45 da 45 e avere come risultato 45.»
Dopo averci pensato per diversi minuti, Cuthbert lo scrisse su un pezzo di carta e lo fece passare nella stanza:
E poi disse: «Se sottraete usando numeri interi, troverete che la differenza è come ve l’ho scritta io. Cioè, 11-9=02, 11-8=3, 12-7=5 e così via.»
«Credo» disse Robert, «che questi siano dei bei problemi su cui dormire. Abbiamo trascorso una serata interessante, abbiamo sentito alcuni problemi curiosi e adesso è quasi mezzanotte.»
«Non può essere» disse Chang.
«Ci siamo vicini» disse Adriaen.
«Ti sbagli» disse Wu. «È mezzanotte adesso e -»
Ma prima di poter dire un’altra parola, nella buia foresta una campana iniziò a scoccare l’ora della mezzanotte e lì dove prima c’erano i ragazzi intorno al grande fuoco crepitante, adesso c’era una stanza piena di sedie vuote, adesso c’era solo un cumulo di cenere. Il gufo guardava attraverso la finestra e sbatté le palpebre con aria saggia. Lo scoiattolo si grattava la testa con aria perplessa. Il coniglio sembrava ascoltare il battito del suo cuore. La foresta era assopita e il capanno della legna taceva tranne alcuni rompicapi solitari ricoperti da un manto di foglie e distesi sulla calda piastra del focolare in attesa di altre sere con i Ricordi.
SEZIONE DOMANDE
1. Qual è la risposta al problema di Mohammed sugli arabi?
2. Qual è la risposta al problema sulla catena?
3. Qual è la risposta al problema sulle uova?
4. Quanto tempo impieghereste per tagliare un pezzo di stoffa di 60 iarde in 1 iarda di lunghezza, alla velocità di un minuto per ciascun taglio?
5. Dimostrate che la metà di 88 è due volte di niente e che la metà di 888 è tre volte di niente.
6. Se arrivate a metà della porta, poi percorrete la metà della distanza restante e infine la metà di quella rimsta e così via, quanto tempo ci impiegherete per uscire dalla stanza?
7. Un uomo con $1 voleva $1.25. Impegnò $1 per 75 centesimi e poi vendette la ricevuta del pegno per 50 centesimi. Alla fine ha avuto il suo $1.25. Chi ci ha rimesso nella transazione?
8. In una certa città il tre per cento degli abitanti hanno una sola gamba e l’altra metà cammina a piedi nudi. Quante scarpe ci vogliono?
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Capitoli già pubblicati
Prefazione 1 e Prefazione 2
Capitolo 1
Capitolo 2
Capitolo 3
Capitolo 4
Capitolo5
Capitolo 6
Capitolo 7
Capitolo 8Capitolo 9
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