Nato ad Amsterdam nel 1633, a 17 anni diventa allievo di Rembrant con il quale instaura un rapporto strettissimo e per il quale dipinge scene storiche, composizioni bibliche, ritratti e studi sulla simbologia di una figura solitaria.
A 22 anni lascia Amsterdam e si mette in viaggio per la penisola. Visita Roma dove collabora con Johann Carl Loth – un pittore tedesco che come lui ha la citta di San Marco come ultimo destino – e con il più giovane pittore di paesaggi e marine, Lieve Verschuier.
Tappa finale del viaggio italiano di Drost è la città incantata di Venezia, dove si stabilisce e muore dopo pochi anni, nel febbraio del 1659 a soli 25 anni.