Armonografi, curve di lissajous e musica!

In questo post parleremo di un particolare strumento meccanico, l'armonografo, il quale può rendere palese lo stretto legame sussistente tra musica e matematica, più volte sottolineato in questo blog.
Innanzitutto, cos'è precisamente un armonografo?
Trattasi di un'apparecchiatura che, attraverso dei pendoli, disegna singolari curve.

Armonografo

In una delle sue varianti, un pendolo muove una penna, mentre un altro sposta una superficie su cui è fissato un foglio di carta.
La combinazione degli effetti dei 2 pendoli produce un moto complesso (così come 2 note musicali danno vita insieme a un suono complesso), il quale, a causa dell'attrito, si riduce man mano degenerando in un singolo punto.
Il tratto che la penna lascia ad ogni oscillazione si trova molto vicino a quello tracciato nell'oscillazione precedente, tanto da conferire alla raffigurazione finale un aspetto ondulatorio simile a una ragnatela.
Variando il rapporto delle frequenze dei 2 pendoli e il loro sfasamento (angolo corrispondente alla differenza temporale tra il raggiungimento successivo di una stessa particolare fase, per esempio il massimo oppure il minimo, da parte di 2 oscillazioni) si possono generare curve di molteplici aspetti, più o meno complesse.

Raffigurazione dello sfasamento tra 2 onde

Fu Galileo Galilei, osservando l'oscillazione di una lampada nella cattedrale di Pisa, a comprendere che la frequenza di un pendolo dipende dalla sua lunghezza: più è lungo, minore è la frequenza.
Infatti, per piccole oscillazioni, la frequenza f di un pendolo semplice (costituito da un filo inestensibile di massa trascurabile e da una massa puntiforme fissata a una sua estremità) si può definire attraverso la formula

dove g designa l'accelerazione di gravità sul pianeta Terra, mentre l la lunghezza del filo.
Di conseguenza, la frequenza può essere modificata a piacimento fissando il peso del pendolo a diverse altezze.
Ed ecco un magnifico video relativo all'armonografo in azione:

Nella versione più semplice, i tracciati realizzati dall'armonografo vengono catalogati come curve di Lissajous.
Le curve (o figure) di Lissajous, dette anche figure di Bowditch o curve del gioco di Alice, sono eleganti curve piane, costruite come composizione di 2 oscillazioni armoniche (abbiamo parlato di moto armonico nel post intitolato "Helmholtz e la dissonanza", che consiglio vivamente di rileggere a chi non ricordasse i dettagli di tale tipologia di moto) perpendicolari.
Esse presentano equazioni parametriche del tipo:


Potevano anche essere scritte attraverso la sola funzione coseno oppure mediante il solo seno, dato che è possibile passare dal seno al coseno in modo molto semplice, giacché la sinusoide altro non è che una cosinusoide sfasata di un angolo di 90°.

La forma di una curva di Lissajous dipende appunto da vari parametri:

• A, B rappresentano le ampiezze di tali moti;
• ωx, ωy ne rappresentano le frequenze angolari;
• φx, φy ne rappresentano le fasi.

Nel caso particolare in cui ωx = ωy la curva in questione è un'ellisse, la quale diviene una circonferenza nel caso in cui si abbiano anche le uguaglianze



La curva si riduce poi a un segmento se, oltre ad avere ωx = ωy, si ha anche

 

Un'altra semplice figura che è possibile ottenere è la parabola; ciò avviene quando




Inoltre, una curva di Lissajous si chiude se e solo se il rapporto

è un numero razionale.

L'animazione appena riportata mostra l'adattamento della curva a un progressivo incremento di 0,01 del suddetto rapporto (nell'animazione chiamato a/b), a partire da 0 fino a 1.
Le suddette curve furono oggetto di studi da parte dell'astronomo e matematico statunitense Nathaniel Bowditch (1773-1838) e, successivamente, vennero ampiamente studiate pure dal matematico francese Jules Antoine Lissajous (1822-1880).
Andiamo a scoprire un po' meglio questi 2 personaggi; in particolare, la biografia del primo è davvero molto interessante e merita di essere approfondita per bene.
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