[¯|¯] Calcolo delle variazioni, principi variazionali ed equazione di Eulero

Lo scopo del cosiddetto Calcolo delle variazioni è quello di determinare gli estremi relativi (e assuluti) di un funzionale.
Utilizzando un linguaggio impreciso, ma comunque intuitivo, possiamo dire che un funzionale è una generalizzazione della nozione di funzione. Più specificatamente, un funzionale è una funzione "di linea", nel senso che associa a una funzione y(x) un numero reale. Quindi, i valori assunti da un funzionale dipendono dalla "curva" di equazione cartesiana y=y(x).

Assegnata, dunque, questa definizione, ci si pone il problema della ricerca degli estremi relativi/assoluti di un funzionale. Storicamente, furono proprio questi problemi a dare l'avvio allo studio del Calcolo delle variazioni.

Nelle dispense che proponiamo (vedi link più avanti) si segue la falsariga del calcolo differenziale, partendo dalla definizione di "epsilon-intorno", ovvero l'intorno di una curva (anzichè di un punto), dopodichè si passa alla definizione di curva estremante, giungendo alla formulazione dell'equazione di Eulero (nota anche come equazione di Eulero-Lagrange). Si conclude, poi, con un esempio preso dalla meccanica classica

Appunti sul Calcolo delle Variazioni


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