Due esempi di espressioni goniometriche risolvibili mediante gli angoli associati

Risolviamo 2 espressioni goniometriche mediante l'impiego degli angoli associati, che spesso in goniometria si rivelano di grande aiuto. Ecco la prima:
Trasformiamo secante e cosecante rispettivamente in funzione di coseno e seno, tenendo conto che Avremo quindi: Adesso possiamo semplificare l'espressione ricordando le relazioni esistenti tra le funzioni goniometriche di un angolo e quelle dei suoi angoli associati. In particolare: (perché sono angoli che differiscono di un angolo piatto, ed hanno quindi seno opposto); (perché angoli supplementari hanno uguale seno e coseno opposto, quindi tangente opposta); (perché angoli esplementari hanno uguale coseno); (perché angoli opposti hanno uguale coseno). L'espressione diventerà: Esprimiamo la tangente come rapporto tra seno e coseno: Semplifichiamo: Eliminiamo i termini opposti e otterremo come risultato: Ed ora risolviamo la seconda: Effettuiamo le seguenti sostituzioni ricordando alcune relazioni esistenti con gli angoli associati corrispondenti: (perché angoli esplementari hanno coseno opposto) (perché angoli che differiscono di un angolo piatto hanno coseno opposto) (perché il seno di un angolo è uguale al coseno dell'angolo complementare) (perché angoli opposti hanno coseno opposto) Otteniamo: Semplificando i restanti calcoli, avremo: