[¯|¯] Esame di maturità 2015 - prova di matematica (liceo scientifico) (parte 2)

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Di seguito il grafico di uno dei polinomi interpolatori della funzione assegnata.

L'oscillazione del grafico in un intorno sinistro del punto x=3 non può essere eliminata, poichè è dovuta al fenomeno di Runge. Per essere più precisi, è proprio tale fenomeno che ha reso quasi impossibile cercare la soluzione. In seguito a uno scambio di idee con Marco Costantini sul gruppo "Matematica" di Facebook, alla fine ho capito che l'unico modo per attenuare il fenomeno di Runge, consiste nella cancellazione delle oscillazioni tramite una opportuna combinazione lineare di soluzioni. Per essere più specifici, il minimo grado del polinomio è 11. Imponendo le condizioni sugli estremi relativi e sugli zeri, si ottengono oo^6 soluzioni. Imponendo le condizioni sulle aree, otteniamo oo^2 soluzione, ciascuna delle quali è però "infettata" dal fenomeno di Runge. Per quanto detto, l'unico modo per attenuare il fenomeno consiste nella cancellazione delle oscillazioni agli estremi tramite combinazione lineare di soluzioni. Infatti, una qualunque combinazione lineare di polinomi interpolanti, verifica le condizioni sugli estremi relativi e sugli zeri.

Affinchè siano verificate le condizioni sulle aree, occorre e basta trovare una sottoclasse di polinomi interpolanti tali da avere integrale definito nullo esteso agli intervalli corrispondenti alle aree. Con questo "trucco" rimaniamo con un solo parametro libero, ed è chiaro che ora è molto più semplice controllare il segno della funzione o, ciò che è lo stesso, attenuare/cancellare le drammatiche oscillazioni agli estremi.

L'argomento è molto interessante, in quanto è completamente diverso dai problemi tipici di approssimazioni polinomiali di funzioni, tant'è che ho pensato di pubblicare un articolo sulla rivista Scientia.

Di seguito il link della bozza di articolo:

Il fenomeno di Runge in un problema atipico di interpolazione polinomiale.

Di seguito il pdf con il codice Mathematica per l'esecuzione dell'algoritmo di attenuazione del fenomeno di Runge:

Codice Mathematica.