[¯|¯] Il gioco del caos e il triangolo di Sieripinski

Siano V₁V₂,V₃ i vertici di un triangolo equilatero. Senza
perdita di generalità, poniamo

avendo introdotto un sistema di assi cartesiani ortogonali Oxy. Preso ad arbitrio un punto P₀ consideriamo il segmento P₀V_k, con k appartenente a {1,2,3}, e denotiamo con P₁ il suo punto medio. Se h appartiene a {1,2,3}, indichiamo con P₂ il punto medio del segmento P₁V_h, come illustrato in fig.

L'iterazione del procedimento genera la sequenza di punti P₀,P₁,...,P_n e quindi il luogo geometrico S_n={P₀,P₁,...,P_n}.

Si tratta di un processo casuale, poichè è assegnato solo il punto iniziale P₀, mentre la scelta dei vertici è casuale. Ad esempio, dopo 100 iterazioni:
in cui notiamo una prima regolarità. Proviamo ad aumentare n, ad esempio n = 2000:

in cui riconosciamo il triangolo di Sierpinski. Ne concludiamo che tale processo caotico ha per attrattore il suddetto triangolo.

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