Il Principio di Archimede

Chiedilo a Tania
Mi ha scritto Martina, ecco il messaggio che mi ha lasciato nei commenti.

Per prima cosa la saluto, è un sacco di tempo che non la sento... come sta? spero bene; volevo chiederle una cosa di fisica da parte di mio fratello:

è un problema che non è stato in grado di risolvere fino in fondo, il testo è:
di una sfera massiccia di diametro 10cm, con densità in aria 2,30 kg/dm³, determinare:

il suo peso in aria
il suo peso in acqua di mare (d=1028 kg/m³)
se fosse internamente cavo con un vuoto di 300 cm³, galleggerebbe ?
nel caso galleggiasse, qual è il volume immerso?

la ringrazio molto, la saluto!:)
Ciao Martina,
è sempre bello sentire una ex-allieva! Di solito rispondo a domande di biologia ma, dato che il problema è semplice e non richiede una lunga trattazione teorica, faccio volentieri un'eccezione.
Per svolgere questo problema bisogna aver ben chiaro alcuni concetti teorici di base, vediamo quali sono:
La sfera e il calcolo del suo volume

Sfera. Immagine da Wikipedia
La sfera (dal greco σφαῖρα, sphaîra) è il solido geometrico costituito da tutti i punti che sono ad una distanza minore o uguale a una distanza fissata r, detta raggio della sfera, da un punto O detto centro della sfera.
Questa è la formula per il calcolo del volume della sfera:

Cara Martina, l'anno prossimo anche tu studierai i solidi. Un trucco per imparare questa formula? Una simpatica rima:
"Il volume della sfera qual è?" "Quattro terzi pi greco erre tre!"
Il principio di Archimede
"Ogni corpo immerso in un fluido (liquido o gas) riceve una spinta verticale dal basso verso l'alto, uguale per intensità al peso del volume del fluido spostato."
Tale forza è detta forza di Archimede o spinta di Archimede o ancora spinta idrostatica.
Per comprenderlo meglio eccovi un bellissimo filmato breve dal sito http://www.ovo.com
Un sito splendido con tantissimi filmati scientifici in italiano! Per vedere il filmato, cliccare sull'immagine!

Lo sapevate che Archimede ha avuto l'intuizione della spinta idrostatica mentre faceva il bagno?! Date un'occhiata al video, è davvero ben fatto e spiega come è nato il principio di Archimede!
Da un punto di vista matematico, la forza di Archimede può essere espressa nel modo seguente:

essendo ρ_flu la densità del fluido, g l'accelerazione di gravità e V il volume spostato. Allo stesso modo, il peso del corpo è dato da:

essendo ρ_sol la densità del solido immerso. Come si vede in questa chiara immagine di Wikipedia, possono verificarsi 3 situazioni:

Il corpo tende a cadere fino a raggiungere il fondo se la forza di Archimede è minore del peso, FA < Fp, ovvero se ρflu < ρsol.
Il corpo si trova in una situazione di equilibrio se la forza di Archimede è uguale al peso, FA = Fp, ovvero se ρflu = ρsol.
Il corpo tende a risalire fino alla superficie dove galleggia se la forza di Archimede è maggiore del peso, FA > Fp, ovvero se ρflu > ρsol.

La densità
La densità di un corpo è definita come il rapporto tra la massa del corpo ed il volume del medesimo corpo. Indicando con m la massa e con V il volume, si ha:

Nel Sistema Internazionale la densità si misura in kg/m³; nel sistema CGS in g/cm³ o equivalentemente il g/mL. Nell'uso pratico si utilizza il kg/litro (kg/dm³), che corrisponde esattamente al g/cm³ ed equivale a 1000 kg/m³.
Quindi... Attenzione alle unità di misura!

La differenza tra massa e peso
Cliccare sull'immagine per accedere al sito http://space.cinet.it/ e capire bene la differenza tra massa e peso.

Ed ora ecco lo svolgimento del problema
Calcoliamo il Volume della sfera di diametro 10 cm:
Il raggio della sfera è la metà del diametro, ovvero 5 cm.

Prima domanda:
Calcoliamo il peso della sfera:
V x d = 0,5236 dm³ x 2,30 kg/dm³ = 1,204 Kg
Espresso in Newton sarà: 1,204 Kg x 9,8 m/s²  = 11,80 N

Seconda domanda:
La prima considerazione da fare è che il volume di acqua spostato dalla sfera è uguale al volume della sfera. Possiamo, quindi, calcolare i Kg di acqua spostati dalla sfera:
V x d = 0,5236 dm³ x 1,028 kg/dm³ = 0,538 Kg
Espresso in Newton sarà: 0,538 Kg x 9,8 m/s²  = 5,272 N
Il peso della sfera in acqua di mare lo ottengo, quindi, per differenza:
Kg della sfera - Kg di acqua spostata dalla sfera = 1,204 - 0,538 = 0,666 Kg
Espresso in Newton sarà: 0,666 Kg x 9,8 m/s²  = 6,5268 N
Terza domanda:
Per rispondere dobbiamo chiederci: "Quanto pesano 300 cm³(ovvero 0,3 dm³)?"
Peso di 300  cm³  = 0,3 dm³ x 2,30kg/dm³ = 0,69 Kg ovvero 0,69  Kg x 9,8 m/s²  = 6,76 N
A questo punto, i Kg della sfera cava si ottengono, semplicemente, per differenza:
Kg della sfera - Kg della sfera cava = 1,204 - 0,69 = 0,514 Kg
Posso ora calcolare la densità della sfera cava: m/V = 0,514 / 0,5236 = 0,98 kg/dm³
La sfera cava galleggia perché la sua densità è minore della densità dell'acqua.
Quarta domanda:
Il volume immerso sposta una quantità di acqua pari al peso della sfera cava;
Quindi: V=m/d = 0,514 Kg / 1,028 kg/dm³= 0,5 dm³
Fonti:
Le formule sono state create con l'extension per Chrome
chrome-extension://dinfmiceliiomokeofbocegmacmagjhe/html/Pencil_chromestore.html
http://it.wikipedia.org/wiki/Archimede
http://it.wikipedia.org/wiki/Densit%C3%A0
Se ti servono esercizi simili:
http://online.scuola.zanichelli.it/ruffo_materia-files/RUFFO_fisica/Ruffo_Fisica_04_fine_unita.pdf
http://www.andreazucchini.eu/Scuola/Appunti/Fisica/Fluidi/esercizi%20statica%20fluidi.pdf
www.liceoagnoletti.it
Un saluto,
Tania Tanfoglio