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Il principio di corrispondenza biunivoca: Georg Cantor

Creato il 11 novembre 2010 da Bruno Corino @CorinoBruno

Il principio di corrispondenza biunivoca: Georg Cantor
Georg Cantor (1845-1918), matematico tedesco di origine russa, è considerato il fondatore della teoria degli insiemi. Il padre voleva farne un ingegnere, ma Cantor preferì dedicarsi allo studio della matematica, esplorandone le regioni più astratte: «La sua opera ebbe le accoglienze che vengono riservate di solito all’innovazione e originalità: fu ignorata, messa in ridicolo e addirittura insultata» (Morris Kline, La matematica nella cultura occidentale). La grandezza di Cantor risiede nell’aver percepito, come scrive Kline, l’importanza del principio di corrispondenza e nell’audacia da lui dimostrata nel perseguirne le conseguenze. Questo principio ha finito con lo scalzare le nostre più comuni intuizioni. La teoria cantoriana dimostra che due segmenti di lunghezza qualsiasi hanno lo stesso numero di punti, ma anche che tra la durata di due intervalli di tempo qualsiasi esistono infiniti istanti. La sua conclusione rivoluziona la nostra concezione del tempo e dello spazio: tra due punti quali si voglia su una linea c’è un numero infinito di punti, allo stesso modo in cui in una qualsiasi durata di tempo esiste un numero infinito di altri istanti. Questa teoria concepisce il movimento come una serie di stati di quiete in istanti diversi: «Il moto non è altro che una corrispondenza fra posizioni e istanti di tempo» (Kline), posizioni e istanti che formano due insiemi infiniti. Il movimento di un corpo è dato dal fatto che un oggetto occupa una posizione di quiete in un corrispondente istante di tempo. Il movimento insomma risulta essere la corrispondenza biunivoca tra due infiniti temporale e spaziale. Se tra spazio e tempo non si ponesse questa corrispondenza biunivoca, la concezione del movimento andrebbe incontro a dei paradossi. L’intuizione comune porta a vedere il movimento come lo spostamento di un corpo nello spazio, ma come avevano mostrato i paradossi di Zenone se il movimento fosse tale il corpo rimarrebbe in un perenne stato di quiete, praticamente resterebbe sempre immobile.
Questa riflessione sul principio della corrispondenza biunivoca (ma potrei anche scrivere della corrispondenza reciproca) mi ha fatto venire in mente il processo interattivo. Anche l’interazione tra due corpi qualsiasi bisogna concepirla come corrispondenza tra due infiniti: contatto/segnale. Ad ogni contatto corrisponde un segnale (e viceversa). Tuttavia, due corpi possono essere in contatto continuo senza emanare segnali: la matita e il piano della scrivania sono in contatto, ma il loro contatto non emana nessun segnale. Qui però occorre far intervenire il ruolo dell’osservatore/percettore: se l’osservatore è esterno all’interazione tra due corpi può percepire un segnale come anche non percepirlo. Da cosa dipende la possibilità di percezione? Dal fatto se il contatto è “discreto” o “continuo”. Come osservatore/esterno all’interazione tra due corpi se il loro contatto è continuo non è possibile percepire alcun segnale; soltanto quando il loro contatto è “discreto”, ossia si interrompe e riprende, è possibile avvertire dei segnali, a condizione che l’interazione cada nel campo percettivo dell’osservatore. Soltanto come osservatore/interno all’interazione è possibile avvertire segnali sia quando il contatto è discreto sia quando è continuo (seppure, in quest’ultimo caso, si va incontro all’assuefazione, cioè all’annullamento graduale del segnale). All’interno di questa interazione i segnali diventano significativi quando il segnale/contatto è discreto, perché in tal caso l’osservatore deve attribuire al corpo con cui viene in contatto un’intenzionalità; non solo, ma lo stesso contatto discreto non dev’essere regolare. Quindi, per attribuire un "senso" al segnale, il contatto deve essere discreto ed irregolare.
Un contatto/segnale può essere “continuo” o “discreto”. Nel primo caso il contatto è continuo (o stabile) quando il segnale non subisce alcuna interruzione o alterazione. Tale, ad esempio, può essere il contatto che si ha con la luce solare o con una luce artificiale tenuta costantemente accesa, o un rumore di fondo che non subisce variazione. Ora un segnale continuo e regolare dà infine assuefazione, e tende ad annullarsi come segnale. Invece, quando all’improvviso una luce varia nella sua intensità, quando, ad esempio, diventa ora forte ora debole, l’attenzione dell’osservatore/interno si concentra non sul contatto, ma sull’evento che il segnale manifesta. Allo stesso modo accade quando una fonte luminosa o una fonte sonora si interrompe per un attimo e subito riprende, a intermittenza irregolare. Così, se un osservatore tocca con la mano un corpo moderatamente caldo, finché il calore diminuisce gradualmente non desta nell’osservatore nessuna “sorpresa”: la diminuzione graduale del calore è un processo atteso o previsto. Ma se l’oggetto diventasse ora freddo ora caldo all’improvviso senza seguire una intermittenza regolare, l’attenzione sarebbe focalizzata non sul segnale/contatto, ma sull’evento che sta accadendo (ad esempio: ferro da stiro acceso/spento). Lo stesso accade se all’improvviso in un momento di quiete si sentisse un rumore o un suono: l’attenzione si concentra sull’evento inatteso.
Un segnale uniforme e continuo informa l’osservatore/interno che il contatto è attivo; l’interruzione del segnale o la sua variazione di intensità (minore o maggiore) informa l’osservatore che un evento sta accadendo. Così, quando un ascoltatore/interno ascolta il fischio di un treno allontanarsi sino a scomparire, la sua attenzione non viene attratta dal contatto/segnale, bensì dall’evento che quel segnale indica. Durante un eclisse solare, in effetti, la scomparsa improvvisa della luce solare per qualche frazione di secondi, comporta per l’osservatore uno spostamento d’attenzione rispetto alla “normale” illuminazione diurna, vale a dire il segnale inatteso sposta tutta l’attenzione sull’evento che sta accadendo. In altri termini, la variazione o la interruzione del segnale continuo fa emergere un evento inatteso all’osservatore/interno.


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