IL PROF. MERLINO E LE MERAVIGLIE DELLA MATEMATICA (2ª PARTE)

"Bene, direi di focalizzarci su Diablo 3, che può essere un ottimo esempio da analizzare." disse il professore.
"Prof., ma lei conosce il gioco?" fu la domanda di un ragazzo alquanto sorpreso.
"Mai dubitare delle conoscenze di un prof. che si chiama Merlino!" fu la battuta dell'insegnante, che iniziò la sua spiegazione. "Per chi non lo sapesse, trattasi di un videogioco di ruolo ambientato nell'immaginario mondo d'ispirazione medievale chiamato Sanctuary, un mondo che risente dell'eterno scontro tra angeli e demoni, con particolare riferimento ai 7 Grandi Demoni, tra cui i 3 Primi Maligni, ovvero Mephisto, Baal e appunto Diablo. È possibile scegliere tra 6 classi - sciamano, cacciatore di demoni, crociato, monaco, barbaro e mago - con le quali intraprendere un percorso per salvare il mondo dalle grinfie di Diablo e/o altri antagonisti. Il gioco in sé, però, va ben oltre il completare la lineare storia. L'obiettivo di Diablo 3 è ricercare oggetti in grado di influenzare il modo di impostare le abilità di una specifica classe e provare nuove combinazioni, fino a trovare quella/quelle maggiormente efficienti. Ecco appunto si parla di combinazioni, quindi di calcolo combinatorio. In Diablo esistono 2 tipologie di abilità: attive e passive. Si possono impostare per l'uso 6 abilità attive e 4 passive a scelta del giocatore, le quali possono essere sostituite in qualsiasi momento a seconda delle esigenze.

Esempio di configurazione abilità attive e passive

Prendiamo il caso dello sciamano.

Attualmente lo sciamano può contare su ben 23 abilità attive e 18 passive. Su ogni abilità attiva di una classe, inoltre, è possibile scegliere una determinata runa tra 5, in grado di influenzare notevolmente il tipo di attacco/magia che si effettua. Come si può dunque constatare già ad occhio, il numero di possibili combinazioni di abilità è davvero altissimo, ma se volessimo calcolare qual è il numero esatto, come dovremmo procedere?" domandò il prof. Merlino.
"Direi sfruttando le regole che riguardano le combinazioni" rispose Leo, alzando la mano.
"Esatto, proprio attraverso precise regole matematiche. Proviamo a vederle insieme. Dividiamo il nostro lavoro in 3 step: innanzitutto focalizziamoci sulle abilità attive, poi sulle rune e infine sulle passive. Prima di far ciò, una breve rinfrescata sull'argomento. Dati due numeri interi positivi, che chiamiamo per convenzione n e k, i matematici definiscono combinazione di n elementi presi k volte ogni sottoinsieme di k oggetti estratti da un insieme di n oggetti. Detta così può sembrare arabo, ma il concetto è molto semplice. Pensate all'estrazione del superenalotto. Su 90 numeri ne vengono estratti 6, ovvero la combinazione vincente. In tal caso si ha n = 90 e k = 6, cioè si considerano quanti possibili sottoinsiemi di 6 numeri - senza ripetizioni all'interno della stessa sequenza - si possono formare avendo a disposizione un'urna contenente 90 numeri diversi. Solo uno di questi possibili sottoinsiemi potrebbe rendere una o più persone milionarie. Ma perchè è così tanto difficile beccare la sequenza di 6 numeri vincente? Il numero di combinazioni si calcola in questo modo."
L'insegnante scrisse sulla lavagna un'uguaglianza:

"Mi raccomando, non scambiatemi quel simbolo per il punto esclamativo che usate negli sms! Quello in matematica si chiama fattoriale e indica la moltiplicazione di tutti i numeri interi partendo da un certo numero n fino ad arrivare a 1. 4! ad esempio equivale a dire 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 24. Un'altra cosa che vi devo specificare è che i sottoinsiemi vengono considerati indipendenti dall'ordine degli elementi. In pratica estrarre ad esempio 1, 2, 3, 4, 5, 6 è equivalente ad estrarre 3, 1, 2, 5, 6, 4. Trattasi semplicemente di 2 modi diversi di scrivere la medesima combinazione. Si hanno distinte combinazioni quando invece è presente almeno un elemento differente tra le sequenze considerate. Ad esempio, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 1, 2, 3, 4, 5, 7 sono due combinazioni distinte. Ritornando velocissimamente al caso del superenalotto, le combinazioni distinte possibili sono:

Un numero esorbitante vero? Quando una persona gioca una schedina, sta sperando che una delle sue 2 combinazioni sia vincente su un "oceano" di oltre 622 milioni di combinazioni distinte. Follia! Nel caso delle abilità attive dello sciamano, il procedimento è esattamente lo stesso. Abbiamo n = 23 e k = 6. Introduciamo questi numeretti nella nostra magica formula e voilà:

Solo considerando le abilità attive, questa classe di Diablo 3 ha oltre 100 mila combinazioni su cui poter fare affidamento.
Ora spingiamo la nostra attenzione verso le rune. Qui la faccenda si complica un tantino, ma non troppo." precisò il professore.

L'abilità attiva "Tormento" e le sue 5 rune

"Per quale motivo prof.? Non basta applicare nuovamente la formula relativa alle combinazioni?" fu l'intervento di una studentessa.
"In verità, il discorso delle rune implica un concetto di combinazione leggermente più complesso. Fino a questo momento ci siamo riferiti alle cosiddette combinazioni semplici. Esistono tuttavia le combinazioni con ripetizione e sono proprio quelle a cui dobbiamo riferirci per studiare il caso delle rune. Infatti, indicando le rune di ciascuna abilità - anche se poi ogni runa è diversa da tutte le altre - con i numeri 1, 2, 3, 4, 5, noi potremmo trovare per esempio configurazioni in cui la runa n.3 appaia più volte, generando dunque una ripetizione. Il calcolo combinatorio ci viene in soccorso anche in questo caso. Consideriamo delle generiche combinazioni che abbiano una ripetizione di lunghezza k, ossia ogni elemento può essere ripetuto fino a k volte. Il numero totale di combinazioni con ripetizione viene calcolato attraverso la formula che adesso vi scriverò:

Le rune possibili sono 5, quindi n = 5. Una singola runa - o meglio una runa che occupa una determinata posizione - può ripetersi fino a 6 volte, giacché 6 è il numero di abilità attive.
Ne consegue che k = 6. Con queste considerazioni possiamo arrivare alla conclusione che le combinazioni possibili con le rune risultano essere:

Terminiamo con le abilità passive. Nel suddetto caso abbiamo nuovamente a che fare con combinazioni semplici, visto che le passive non possono ripetersi. Le passive dello sciamano sono in totale 18, tra cui sceglierne 4 per la propria configurazione di gioco. Pertanto abbiamo n = 18 e k = 4. Dovrebbe essere ormai facile per voi arrivare a determinare quante siano le combinazioni di passive possibili:

Bene, ricapitoliamo! Abbiamo scoperto che lo sciamano ha 100.947 combinazioni di abilità attive, 210 combinazioni riguardanti le rune e 3.060 concernenti le passive. Come perveniamo però al numero totale di combinazioni che tenga conto delle 3 tipologie di abilità già analizzate?" domandò il prof. Merlino. 
"Se non ricordo male, nel calcolo combinatorio, data una certa sequenza con tipologie di elementi che variano in modi distinti, il numero totale delle sequenze distinte possibili è dato semplicemente dal prodotto dei modi in cui può variare ciascuna tipologia. Per esempio, immaginiamo di trovarci in una pizzeria e di poter ordinare il tipo di pizza basandoci sia sullo spessore, sia sulla farcitura.

Le pizze in questione possono essere o sottili o spesse e allo stesso tempo possono essere farcite con pomodoro, patate o salsicce. In tal caso avremmo 2 combinazioni possibili riguardanti lo spessore e 3 concernenti il condimento. Il totale delle combinazioni è, per via della regola, 2 × 3 = 6 possibili tipi di pizze ordinabili (sottile con pomodoro, sottile con patate, sottile con salsicce, spessa con pomodoro, spessa con patate e spessa con salsicce). Quindi, per rispondere alla sua domanda prof., relativamente allo sciamano dobbiamo semplicemente effettuare il prodotto dei 3 valori rinvenuti rispettivamente riguardo alle abilità attive (100.947 combinazioni), alle rune (210 combinazioni) e alle passive (3.060 combinazioni); a quel punto avremmo il numero totale di configurazioni possibili che tengano conto contemporaneamente delle 3 tipologie di abilità: 64,8 × 10⁹ combinazioni circa, oltre 64 miliardi in parole povere. Un numero davvero impressionante!" affermò Leo.
"Bravo, ottima spiegazione! C'è da puntualizzare che 64 miliardi sono le combinazioni matematicamente possibili, ma ovviamente quelle efficaci sono decisamente inferiori, dato che una combinazione per essere giocabile ha bisogno di essere composta da abilità con funzioni diverse e in armonia fra loro." fu la precisazione del professore.
"Prof., ma solo il calcolo combinatorio ritroviamo nel videogioco o ci sono altri elementi matematici che lo caratterizzano?" fu l'interrogativo di un allievo che si stava appassionando alla discussione.
"No, le combinazioni sono solo uno dei tanti elementi matematici che si possono riscontrare. Uno fondamentale è sicuramente la probabilità".
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Questa è la seconda parte di un racconto dedicato al tema "La matematica che vorreste vedere a scuola". Cliccate qui se vi siete persi la prima parte!