Assegnata una funzione reale di una variabile reale f(x), diremo che tale funzione è derivabile in un punto x0 del proprio campo di esistenza se e solo se esiste finito il limite del rapporto incrementale:
dove h è l'incremento della variabile indipendente. Per quanto detto, se il rapporto incrementale inteso come funzione della variabile reale h è convergente per h->0, cioè se il limite:
esiste finito, allora diremo che la funzione è derivabile in x0 e chiamiamo tale limite la derivata di f(x) nel punto x0.
Utilizzando la notazione apicale di Lagrange, scriviamo:
Mentre con la notazione di Leibnitz:
La funzione si dirà poi derivabile nel proprio campo di esistenza X, se è derivabile in ogni punto di X.
Applicando la definizione di derivata è possibile determinare la derivata delle funzioni elementari. Nell'animazione grafica seguente
vediamo una interessante approssimazione del rapporto incrementale relativo alla funzione sin(x), la cui derivata è la funzione cos(x). Al tendere a zero dell'incremento h vediamo che il rapporto incrementale tende al cos(x).
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