[¯|¯] La disuguaglianza di Miyaoka e la dimostrazione dell'Ultimo Teorema di Fermat

ottobre 20th, 2014 | by extrabyte |

Il seguente brano è tratto da L'Ultimo Teorema di Fermat.

Benchè fosse il primo passo verso la dimostrazione della congettura di Taniyama-Shimura, la strategia di Wiles basata sui gruppi di Galois costituiva una brillante scoperta matematica, degna in sè di essere pubblicata.
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Wiles ricorda il suo atteggiamento filosofico nei riguardi dei potenziali rivali: "Bé, ovviamente nessuno desidera passare anni a cercare di risolvere qualcosa per poi scoprire che qualcun altro l'ha risolta qualche settimana prima di te. Ma poichè stavo cercando di risolvere un problema ritenuto impossibile, in realtà non temevo solo la concorrenza, per quanto strano possa sembrare. Semplicemente non pensavo che né io né nessun altro avessimo un'idea vera e propria di come farlo".

L'8 marzo 1988 Wiles rimse di sasso leggendo sulle prime pagine dei giornali che l'Ultimo Teorema di Fermat era stato risolto. Il Washington Post e il New York Times affermavano che il trentottenne Yoichi Miyaoka dell'Università di Tokio aveva scoperto una soluzione del problema più difficile del mondo. Al momento Miyaoka non aveva pubblicato la sua dimostrazione, ma ne aveva solo tratteggiato le linee nel corso di un seminario tenuto presso l'Istituto Max Planck di Matematica a Bonn.
[...]
A Bonn Miyaoka aveva descritto come si fosse accostato al problema da un punto di vista del tutto nuovo, quello della geometria differenziale. Per decenni i geometri differenziali avevano elaborato una ricca interpretazione delle figure matematiche, e in particolare delle proprietà delle loro superfici. Poi, negli anni Settanta, un'equipe di russi guidata dal prof. S. Arakelov, cercò di tracciare paralleli tra problemi della geometria differenziale e della teoria dei numeri. Si trattava di una parte del programma Langlands, e la speranza era di riuscire a risolvere i problemi della teoria dei numeri rimasti senza risposta studiando le questioni corrispondenti della geometria differenziale a cui si era già data una risposta. Questa strategia era nota come filosofia del parallelismo.

Gli studiosi di geometria differenziale che tentavano di affrontare problemi della teoria dei numeri divennero noti col nome di "geometri aritmetico-algebrico". Essi rivendicarno la loro prima scoperta nel 1983, quando Gerd Faltings dell'Institute for Advanced Studies di Princeton diede un contributo importante alla comprensione dell'Ultimo Teorema di Fermat. Rammentiamo che Fermato affermava che non esistono soluzioni dell'equazione:

Faltings riteneva di poter compiere qualche progresso verso la dimostrazione dell'Ultimo Teorema di Fermat studiando le forme geometriche associate a ciascuna delle equazioni. Le forme corrispondenti a ogni equazione sono tutte diverse tra loro, ma hanno comunque una cosa in comune: presentano tutte dei buchi. Le forme sono a quattro dimensioni, piuttosto simili a forme modulari [...]. Tutte queste forme geometriche sono simili a ciambelle tranne che per il fatto di avere molti buchi invece di uno solo. Maggiore è il numero di n nell'equazione, più buchi ci sono nella forma geometrica corrispondente.
Faltings riuscì a dimostrare che, siccome queste figure hanno sempre più di un buco, nella teoria dei numeri ciò implica che le equazioni di Fermat a esse associate possono avere solo un numero finito di soluzioni in numeri interi. Un numero finito di soluzioni può essere un numero qualsiasi, da zero, cioè quello che sosteneva Fermat, fino a un milione o a un miliardo. Dungue Faltings, pur non avendo dimostrato l'Ultimo Teorema di Fermat, era almeno riuscito a escludere la possibilità che esistessero infinite soluzioni.
Cinque anni più tardi Miyaoka affermò di essere in grado di compiere un altro passo. Non ancora trentennne, egli aveva formulato una congettura concernente una certa disuguaglianza, che sarebbe divenuta nota come disuguaglianza di Miyaoka. Divenne chiaro che la dimostrazione della sua congettura geometrica avrebbe dimostrato anche che il numero delle soluzioni delle equazioni di Fermat non solo era finito, ma era uguale a zero. L'approccio di Miyaoka era analogo a quello di Wiles, nel senso che entrambi stavano cercando di dimostrare l'Ultimo Teorema di Fermat collegandolo a una congettura fondamentale in un altro campo della matematica. Nel caso di Miyaoka il campo era quello della geometria differenziale, mentre per Wiles la dimostrazione passava attraverso le equazioni ellittiche e le forme modulari. Per sua sfortuna Wiles stava ancora sforzandosi di dimostrare la congettura di Taniyama-Shimura quando il matematico giapponese diede l'annuncio di una dimostrazione completa relativa alla sua congettura, e dunque di una dimostrazione dell'Ultimo Teorema di Fermat.

Due settimane dopo l'annuncio fatto a Bonn, Miyaoka rese pubbliche le cinque pagine di calcolo algebrici che costituivano i dettagli della sua dimostrazione, e le verifiche cominciarono. Teorici dei numeri e geometri differenziali di tutto il mondo esaminarono la dimostrazione riga per riga alla ricerca della più piccola lacuna logica o della minima traccia di un falso assunto. Nel giro di pochi giorni parecchi matematici misero in rilievo ciò che sembrava essere una preoccupante contraddizione all'interno della dimostrazione. Una parte del lavoro di Miyaoka conduceva a una particolare conclusione nella teoria dei numeri, e quando essa veniva riportata di nuovo nell'ambito della geometria differenziale, entrava in conflitto con un risultato che era già stato dimostrato anni prima. Anche se non invalidava necessariamente l'intera dimostrazione di Miyaoka, questo fatto si scontrava con la filosofia del parallelismo tra la teoria dei numeri e la geometria differenziale.
Passarono altre due settimane prima che Gerd Faltings, proprio colui che aveva preparato il terreno a Miyaoka, annunciasse di aver individuato l'esatto motivo dell'apparente crollo del parallelismo: una lacuna logica. Il matematico giapponese era prevalentemente un esperto di geometria, e non era stata del tutto rigoroso nel trasportare le sue idee nel territorio a lui meno familiare della teoria dei numeri. Un esercito di teorici dei numeri tentò di aiutare Miyaoka a rimediare al suo errore, ma ogni sforzo fu vano. A due mesi dal primo annuncio l'opinione generale era che la dimostrazione fosse destinata a fallire.
Come era accaduto nel caso di molte altre dimostrazioni fallite del passato, Miyaoka aveva prodotto della matematica nuova e interessante. Singole parti della dimostrazione avevano una loro propria validità come applicazioni ingegnose della geometria differenziale alla teoria dei numeri, e in anni successivi altri matematici si sarebbero basati su di esse per dimostrare altri teoremi, ma non l'Ultimo Teorema di Fermat.

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