La fisica di un approccio

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Pubblicato Martedì, 30 Settembre 2014 13:31

Scritto da Marco Di Lorenzo

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La traiettoria di Dawn (in azzurro) con, in evidenza, la posizione assunta il 27 Settembre di ogni anno (ovvero a intervalli di 1 anno dalla data di lancio).
Credit: NASA/JPL

In questo articolo di approfondimento si intende esplorare i principi fisici che stanno dietro alla manovra di approccio attualmente in corso.

La sonda americana Dawn, a bordo della quale c'è anche uno strumento italiano¹, sta inesorabilmente avvicinandosi a Cerere (anche lui scoperto da un italiano, quasi 214 anni fa!²) e, nel Marzo 2015, sarà il primo veicolo ad avvicinarsi ad un pianeta nano, anche se pochi mesi dopo verrà imitata da New Horizon che sfiorerà un pianeta nano ancora più celebre e lontano, Plutone.

A differenza di quest'ultima sonda, però, Dawn non farà un fugace “FlyBy” ma entrerà in orbita attorno a Cerere e lo studierà per molti mesi. Questo è possibile grazie alla versatilità e all'efficienza dei suoi speciali propulsori, i motori a ioni (IPS) che spingono lievemente la sonda ormai da 7 anni (l'anniversario del lancio si è festeggiato proprio l'alto ieri).

In realtà, il principio di funzionamento alla base del motore a ioni è lo stesso dei razzi chimici: si tratta del principio di azione e reazione ben noto agli studenti alle prese con la Dinamica di Newton: se con una forza espelliamo del materiale dal veicolo spaziale, allora una forza uguale e contraria si manifesta sul veicolo stesso, spingendolo nella direzione opposta³. L'unica differenza con i razzi tradizionali è che, nel caso del motore a ioni, la forza che spinge il gas fuori dai motori non si sviluppa per la elevata temperatura di una reazione chimica di ossidazione ma per effetto dell'accelerazione elettrostatica di particelle cariche.

Nel caso specifico, vengono utilizzati ioni di Xeno i quali sono prima privati di un elettrone e poi, divenuti carichi, vengono accelerati da una differenza di potenziale. La fonte di energia utilizzata in questo processo non è chimica ma proviene dai grandi pannelli fotovoltaici e questo, unito alla elevata velocità del plasma espulso, spiega la maggiore efficienza del motore a ioni rispetto a quello tradizionale.

Per i lettori che non hanno paura della matematica e delle formule, vediamo ancora più in dettaglio quello che succede dal punto di vista quantitativo... (tutti gli altri possono saltare le parti scritte in corsivo).

Dawn è dotata di tre motori a ioni ma, in ogni istante, solo uno di essi è in funzione (questo per aumentarne la durata e anche l'affidabilità tramite una “ridondanza” delle parti critiche).

Ci sono poi due grandi pannelli solari, lunghi complessivamente quasi 20 metri, che sono in grado di fornire una potenza di 10,3 kW quando la sonda si trova alla stessa distanza della Terra dal Sole (ovvero 1 ua); data la superficie totale di 36 m² e dato che la “costante solare” (ovvero l'energia solare che giunge per unità di tempo e di superficie) vale circa 1367 W/m² fuori dall'atmosfera⁴, l'efficienza dei pannelli è 10,3 kW / (36 m² x 1,367 kW/m²) ≈ 21%, paragonabile a quella dei normali pannelli “domestici” installati sui tetti⁵. Tuttavia, di tutta l'energia prodotta, solo 2,6 kW vengono assorbiti dal motore a ioni e, ragionevolmente, solo il 50% di questa potenza viene effettivamente utilizzata per accelerare il plasma. Dato che, alla massima spinta, da esso vengono espulsi 3.25 milligrammi di Xeno al secondo, vediamo a quale velocità vengono espulsi gli atomi uguagliando la loro energia cinetica alla potenza per l'intervallo di tempo (1 secondo):

½*m*v² = 60%*P*Δt  => v = √( 2*50%*P*Δt / m ) = √( 2 * 0.6 * 2600 W * 1s / 3.25e-6 kg ) ≈ 28.3 km/s

Lo stesso risultato lo si ottiene ultizzando l'informazione relativa alla spinta massima fornita dal motore, pari a 92 mN; sapendo infatti che, in 1 sec, essa agisce su 3.25 mg di plasma è facile calcolare l'accelerazione in base alla legge fondamentale della Dinamica (F = m*a) e usare la formula del moto uniformemente accelerato per la velocità finale:

a = F / m = 9.2e-3 N / 3.25e-6 kg ≈ 28300 m/s² ;  v =  a * t = 2.83e4 m/s² * 1 sec ≈ 28.3 km/s

Il grande vantaggio del motore a ioni sta proprio in questa elevata velocità di espulsione, irraggiungibile per un motore chimico. Il diagramma sottostante illustra infatti un parametro rappresentativo in questo senso, il cosiddetto Impulso Specifico, che è una sorta di "fattore di merito" per classificare l'efficacia di un sistema di propulsione. Più precisamente, esso è il rapporto tra l'impulso fornito dal razzo (ovvero la forza per il tempo di spinta) diviso per il peso del combustibile consumato; intuitivamente, corrisponde al tempo per cui tale sistema sarebbe in grado di auto-sostentarsi a mezz'aria sulla Terra contrastando la forza di gravità (questo ignorando il peso dei motori e dei serbatoi). Come si vede, i motori chimici sono intorno nella regione Isp = 250-450 secondi mentre Dawn si situa tra 1900 e 3200 secondi, a seconda del valore di "throttle" scelto!

Credit: NASA/JPL

Grazie a questo sistema propulsivo, Dawn è, di gran lunga, il veicolo spaziale che ha modificato maggiormente la sua velocità nel corso della missione, il cosiddetto delta-V (vedi il precedente apparticolo di approfondimento). Il record precedente apparteneva ad un altro veicolo sperimentale con motore a ioni, la sonda Deep Space 1 che in 11 mesi accumulò un delta-V di 4.3 km/s; ebbene, Dawn ha appena totalizzato una delta-V di 10.2 km/s, azionando i suoi motori per 1737 giorni (pari al 68% della durata totale della missione).

Anche qui, possiamo divertirci a calcolare se queste cifre rispettano la cosiddetta Equazione del razzo elaborata dal padre dell'astronautica, il russo Tziolkovskij. Questa equazione afferma che, dati i valori di massa iniziale e finale del veicolo (m_i e m_f) che ha espulso i gas a velocità v_e, l'aumento di velocità sarà data da:

Ora, la massa di Dawn dopo il lancio era circa 1240 kg e, a tutt'oggi, la quantità di Xenon espulso ammonta a 366 kg (su un totale di 425 kg). Di conseguenza, sfruttando il risultato precedente sulla velocità di espulsione, Δv = 28.3 km/s * ln (1240/874) ≈ 9.9 km/s, leggermente inferiore al dato precedente. Tuttavia, durante la missione, Dawn si è ulteriormente alleggerita consumando buona parte dei 45 kg di Idrazina a bordo; si tratta di un combustibile chimico necessario per le piccole manovre "veloci" di aggiustamento e che è stato utilizzato spesso durante l'osservazione di Vesta (soprattutto dopo i guai a 2 delle 3 reaction wheel, che dovrebbero controllare l'assetto della sonda). Perciò, considerando anche questo effetto che ha ridotto l'inerzia complessiva del veicolo, il piccolo divario sulla delta-V è facilmente spiegabile. 

La pausa principale nella spinta, naturalmente, è avvenuta durante l'esplorazione di Vesta mentre adesso Dawn utilizza i suoi motori per il 97.5% del tempo (le pause servono a comunicare periodicamente con la Terra).  Possiamo anche calcolare il Delta-V medio giornaliero che risulta essere pari a 5.87 m/s/giorno; il valore massimo ottenibile a una distanza di 1 ua è di oltre 7 m/s/giorno mentre adesso che Dawn si trova a circa 2.7 ua dal Sole e il flusso solare è 7 volte più basso, la sonda sta accelerando di soli 3.7 m/s/giorno, adattando sempre più la propria orbita a quella di Cerere e riducendo quindi la distanza da esso anche dal punto di vista della velocità, come illustrato in precedenza. Il grafico seguente, gentilmente fornito da Marc D. Rayman (ingegnere capo e direttore della missione) mostra appunto la storia altalenante di questa accelerazione nel corso della missione, dal momento del lancio, attraverso il "gravity assist" con Marte (linea rossa tratteggiata), la permanenza in orbita attorno a Vesta (tra i due tratteggi verdi) fino all'arrivo previsto su Cerere (tratteggio marrone).

Credit : Marc Rayman/NASA/JPL-Caltech

In questo momento, Dawn sta "frenando" con il motore a ioni diretto quasi esattamente in direzione di Cerere; perciò i valori riportati nel grafico si riferiscono in realtà a una decelerazione. Tuttavia, confrontando questo grafico con l'andamento della decelerazione rispetto a Cerere negli ultimi mesi, ricavata dal simulatore "Myst" sul sito della missione (http://dawn.jpl.nasa.gov/mission/live_shots.asp), si riscontra una apparente contraddizione: i valori di decelerazione sono sistematicamente più alti, come se la sonda, oltre all'azione del suo motore, fosse aiutata da una "forza misteriosa" che la respinge da Cerere! Si veda il grafico seguente che mostra, al momento attuale, una decelerazione di 4.0 m/s/giorno, quasi il 10% più di quanto riportato nel grafico precedente; il divario, inoltre, cresce se andiamo indietro nel tempo (5 m/s/giorno invece di 4.2 a metà luglio):

data source : NASA/JPL 

Questo mistero in realtà è spiegato da due meccanismi molto interessanti, entrambi legati alla scelta del particolare sistema di riferimento centrato sul pianeta nano:

Il primo è l'effetto mareale, legato al fatto che la forza di gravità dipende dalla distanza secondo la legge dell'inverso del quadrato delle distanze formulata da Newton:

dato che Dawn si trova attualmente all'interno dell'orbita di Cerere (3.9 milioni di km da quest'ultimo e 408 milioni di km dal Sole), la differente attrazione gravitazionale sui due corpi, se vista da Cerere, si traduce in una spinta netta sulla sonda in direzione del Sole:

L'altro effetto è legato invece alla fisica dei sistemi di riferimento in rotazione: Cerere infatti partecipa alla rotazione intorno al Sole e in un sistema di riferimento rotante, come noto, appaiono delle forze fittizie; in particolare, la forza centrifuga agisce verso l'esterno e cresce con la distanza dal Sole (proporzionalità diretta):

Stavolta, la forza sarà inferiore su Dawn rispetto a quella che agisce su Cerere ma, essendo diretta verso l'esterno, l'effetto netto è di nuovo una accelerazione della sonda verso il Sole!

Questi due effetti (mareale e centrifugo) si sommano con lo stesso segno e generano una decelerazione aggiuntiva che spiega l'apparente discrepanza sopra riportata. Naturalmente, ci sarebbe da aggiungere la forza di gravità che Cerere esercita su Dawn e, questa volta, l'accelerazione è nell'altro verso; tuttavia, conti alla mano, questo effetto è per ora molto piccolo (migliaia di volte inferiore a quelli appena discussi) e diventerà importante solo nelle fasi finali di approccio, all'inizio del 2015.

Per concludere questa carrellata, vediamo un modello estremamente semplificato di quello che dovrebbe avvenire nei prossimi mesi, durante le fasi finali di avvicinamento. Sarebbe bello poter fare un calcolo rigoroso di tutte le forze in gioco ma, purtroppo, non tutti i parametri sono noti. In particolare, l'intensità della spinta dei motori a ioni è difficile da calcolare per i non addetti ai lavori dato che dipende da molti fattori; ad esempio, ora che Dawn si allontana dal Sole, oltre alla riduzione dell'energia prodotta dai pannelli solari per effetto del minore irraggiamento c'è anche un aumento dei consumi elettrici nei sistemi di bordo che richiedono un riscaldamento per mantenere costante la temperatura di esercizio. Perciò, l'approccio scelto è quello di stimare l'accelerazione di Dawn nel futuro estrapolando il comportamento degli ultimi 3 mesi, riportato nel grafico sottostante in funzione dell'irraggiamento solare, che è comunque il fattore più importante:

Evidentemente, almeno in prima approssimazione, l'andamento è ben interpolato da una retta che peraltro non passa affatto per l'origine. Questo era prevedibile perchè., a causa del suddetto assorbimento da parte di tutti i sistemi di bordo, i motori finiscono per non poter più operare se l'irraggiamento solare scende sotto una soglia critica, stimabile in circa 138 kW/m² (all'incirca il flusso che si riscontrerebbe a una distanza di 3.15 ua). Questa dipendenza lineare è stata dunque utilizzata per estrapolare l'andamento dell'accelerazione dei prossimi mesi; l'unica piccola correzione riguarda il "Duty time" ovvero il tempo dedicato alla spinta che, a partire dalla fine di Ottobre, scenderà leggermente (97%) per consentire osservazioni periodiche di Cerere.  

I risultati su accelerazione, velocità e distanza sono riportati di seguito e sono in buon accordo con i piani ufficiali pubblicati dalla NASA (vedi ultimo link e articoli correlati). In particolare, questo modello prevede l'arrivo sul pianeta nano il primo Marzo 2015, quando la distanza sarà di circa 35000km e la velocità relativa sarà scesa a 48 m/s, ben al di sotto della velocità di fuga (61 m/s). A quel punto Dawn sarà a tutti gli effetti satellite di Cerere e le manovre effettuate nelle settimane successive serviranno a circolarizzare l'orbita e restringerla progressivamente.

Credit: M. di Lorenzo 

1: si tratta del “visible and infrared (VIR) mapping spectrometer” sviluppato dall'ASI e realizzato da Galileo Avionica

2: Padre Piazzi: http://it.wikipedia.org/wiki/Cerere_(astronomia)

3: si può ricollegare questo principio al principio di inerzia, secondo il quale il centro di massa del sistema (isolato) tende a rimanere immobile o a muoversi di moto rettilineo uniforme.

4: http://it.wikipedia.org/wiki/Costante_solare

5: se invece della costante solare nello spazio utilizziamo il valore normalmente assunto per gli impianti a Terra (circa 1,0 kW/m²) allora l'efficienza sale al 28%, valore dichiarato nelle specifiche JPL (secondo link nella sitografia).

Sitografia di riferimento:

- http://dawn.jpl.nasa.gov/mission/Dawn_overview.pdf 
- http://dawn.jpl.nasa.gov/technology/ion_prop.asp
- http://dawnblog.jpl.nasa.gov/2014/09/27/dawn-journal-september-27/