[¯|¯] La funzione esponenziale

Definizione
Assegnato un numero reale a positivo e diverso da 1, dicesi funzione esponenziale di base a, la funzione reale:

La richiesta a diverso da 1 si giustifica osservando che per a = 1 è f(x) = 1, per ogni x. Cioè, la funzione esponenziale di base 1 è la funzione costante f(x) = 1.
Per lo studio della monotonia della funzione esponenziale, prendiamo ad arbitrio e tali che , per cui possiamo considerare la funzione potenza di esponente reale positivo:

Per quanto visto nella Lezione 20, la funzione g(x)è strettamente crescente in [0,+oo). Nelle figg. 1-2. riportiamo i casi e tali che .

Fig. 1

Fig. 2

Caso 1: a >1

Dalla monotonia di g(x) segue:

Cioè:

Ne consegue che è strettamente crescente.

Caso 2: 0 < a < 1

Dalla monotonia di g(x) segue:

Cioè:

Ne consegue che è strettamente decrescente.

Proposizione
Il codomino della funzione esponenziale di base a è (0,+oo).
Dimostrazione. Si tratta di dimostrare l'implicazione:

Per tale dimostrazione rimandiamo al testo Lezioni di Analisi Matematica 1. R. Fiorenza. D. Greco.. Nelle figg. 3-4 riportiamo i grafici della funzione esponenziale nei due casi distinti a >1, 0 < a < 1.

Fig. 3

Fig. 4

Un caso particolare che si presenta spesso nelle applicazioni è a = e, dove e è il numero di Nepero, detto comunemente numero e:

e = 2.71828182845...

La funzione esponenziale di base e si chiama semplicemente funzione esponenziale, spesso indicata con exp(x). Essendo e >1, il suo grafico ha un andamento del tipo di quello riportato in fig. 3.

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