[¯|¯] La funzione logaritmo

Dalla

segue che l'equazione:

è compatibile e determinata, i.e. ammette una ed una sola soluzione.

Definizione
Per y>0 l'unica soluzione della suddetta equazione dicesi logaritmo di y in base a, e si indica con il simbolo:

Cioè:

Risolvere l'equazione assegnata equivale a determinare la funzione inversa di
Per quanto visto nella precedente, è strettamente monotona, per cui è invertibile:

onde:

Per la conservazione della monotonia della funzione inversa si ha che per a >1 la funzione è strettamente crescente. Per 0<a<1 è strettamente decrescente. In entrambi i casi il codominio è (-oo,+oo).
Studiamo il segno della . Iniziamo con l'osservare che . Infatti:



Inoltre:

Cioè .

Caso 1: a>1

è strettamente crescente:

Ne consegue che è positiva in (1,+oo) e negativa in (0,1).

Caso 2: 0<a<1
è strettamente decrescente:

Ne consegue che è positiva in (0,1) $ e negativa in (1,+oo).

Ritornando al caso generale, per quanto visto si ha:

E per definizione di funzione inversa:

Quindi:

È chiaro che:

Cioè:

Ridefinendo la variabile y in x e f^-1 con f, otteniamo la funzione logaritmo di base a:

Definita in (0,+oo). Nelle figg. 1 e 2 riportiamo l'andamento del grafico della funzione logaritmo nei due casi a>1 e 0<a<1

Fig. 1

Fig. 2

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