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[¯|¯] La funzione logaritmo

Creato il 03 dicembre 2014 da Extrabyte

Dalla

[¯|¯] La funzione logaritmo

segue che l'equazione:
equazione esponenziale

è compatibile e determinata, i.e. ammette una ed una sola soluzione.

Definizione
Per y>0 l'unica soluzione della suddetta equazione dicesi logaritmo di y in base a, e si indica con il simbolo:

logaritmo in base a

Cioè:

logaritmo in base a

Risolvere l'equazione assegnata equivale a determinare la funzione inversa di [¯|¯] La funzione logaritmo
Per quanto visto nella precedente, [¯|¯] La funzione logaritmo è strettamente monotona, per cui è invertibile:

funzione inversa dell'esponenziale

onde:

funzione inversa dell'esponenziale

Per la conservazione della monotonia della funzione inversa si ha che per a >1 la funzione [¯|¯] La funzione logaritmo è strettamente crescente. Per 0<a<1 è strettamente decrescente. In entrambi i casi il codominio è (-oo,+oo).
Studiamo il segno della [¯|¯] La funzione logaritmo. Iniziamo con l'osservare che [¯|¯] La funzione logaritmo. Infatti:
logaritmo di 1



Inoltre:
logaritmo di a

Cioè [¯|¯] La funzione logaritmo.

Caso 1: a>1

[¯|¯] La funzione logaritmo è strettamente crescente:

[¯|¯] La funzione logaritmo

Ne consegue che [¯|¯] La funzione logaritmo è positiva in (1,+oo) e negativa in (0,1).

Caso 2: 0<a<1
[¯|¯] La funzione logaritmo è strettamente decrescente:

[¯|¯] La funzione logaritmo

Ne consegue che [¯|¯] La funzione logaritmo è positiva in (0,1) $ e negativa in (1,+oo).

Ritornando al caso generale, per quanto visto si ha:

[¯|¯] La funzione logaritmo

E per definizione di funzione inversa:

[¯|¯] La funzione logaritmo

Quindi:
[¯|¯] La funzione logaritmo

È chiaro che:
[¯|¯] La funzione logaritmo

Cioè:
[¯|¯] La funzione logaritmo

Ridefinendo la variabile y in x e f-1 con f, otteniamo la funzione logaritmo di base a:

funzione logaritmo di base a

Definita in (0,+oo). Nelle figg. 1 e 2 riportiamo l'andamento del grafico della funzione logaritmo nei due casi a>1 e 0<a<1

funzione logaritmo

Fig. 1

funzione logaritmo

Fig. 2

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