[¯|¯] La lamina di Riemann

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Grafico del modulo della funzione zeta di Riemann

Nei post precedenti abbiamo visto che se "mappiamo" la parte reale e la parte immaginaria della zeta di Riemann su una qualunque curva regolare del piano complesso, otteniamo due funzioni che definiscono le equazioni orarie di un oscillatore bidimensionale con frequenze variabili (quindi, anisotropo). Avevamo poi scritto:

la funzione zeta di Riemann ingloba un numero infinito non numerabile di oscillatori armonici 2-dimensionali, ciascuno per ogni curva regolare del piano complesso su cui vengono mappate la parte reale e la parte immaginaria della zeta. Inoltre, esiste ed è unico l'oscillatore che passa infinite volte per l'origine. Tale oscillatore corrisponde alla linea critica..

Ciò suggerisce che la zeta di Riemann sia in qualche modo correlata a un sistema di infiniti oscillatori armonici 2-dimensionali. Se immaginiamo di poter sopprimere una dimensione, ci viene in mente la schematizzazione di una sbarra longitudinale elastica attraverso un sistema di N oscillatori armonici 1-dimensionali. Come è noto, se l è la lunghezza della sbarra, k la costante elastica di singolo oscillatore, l'equazione del moto dell'i-esimo oscillatore si ottiene facilmente applicando il formalismo lagrangiano:

In questa formula, epsilon è la lunghezza a riposo della singola molla. L'approssimazione diventa, per così dire, esatta se eseguiamo il limite per N->+oo.

Ciò è fisicamente sensato, poichè un continuo elastico 1-dimensionale e isotropo, può essere considerato come un insieme di infiniti oscillatori armonici 1-dimensionali isotropi (le molle hanno tutte la stessa costante elastica). Eseguendo la suddetta operazione di passaggio al limite, l'equazione precedente viene rimpiazzata da quest'altra:

che è l'equazione di D'Alambert. Tale comparsa non ci sorprende per nulla, visto che ora abbiamo non uno spostamento u_i ma una vibrazione rappresentata da un campo scalare 1-dimensionale u(x,t) che si propaga longitudinalmente lungo la sbarra con velocità c proporzionale al modulo di Young e alla densità della sbarra.

Questi risultati si generalizzano immediatamente a 2 dimensioni. Ora non abbiamo più una sbarra longitudinale elastica, ma una lamina piana elastica. Per semplicità consideriamo un quadrato di lato l. Questo sistema può essere approssimato da N^2 oscillatori armonici 2-dimensionali isotropi, ed eseguendo il limite per N->+oo, otteniamo l'equazione di D'Alambert 2-dimensionale:

Il campo vettoriale u(x,y,t) ha per componenti cartesiane le vibrazioni longitudinali e trasversali che si propagano nella lamina.

Nel caso della funzione zeta di Riemann, avevamo definito:

,

dove x(t) e y(t) compongono una rappresentazione parametrica di una curva del piano complesso. Avevamo poi visto che csi(t),eta(t) rappresentano a loro volta, le equazioni parametriche di una curva del piano di Riemann ed hanno un comportamento oscillante, i.e. sono le equazioni orarie del moto di un oscillatore armonico bidimensionale (con frequenze variabili, quindi anisotropo). È allora naturale postulare l'esistenza di due funzioni soluzioni dell'equazione di D'Alambert 2-dimensionale con il laplaciano calcolato rispetto alle coordinate csi, eta, mentre il campo vettoriale soluzione dell'equazione descrive la propagazione di una vibrazione in una lamina infinitamente estesa, elastica ed anisotropa con modulo di Young dipendente dal tempo (poichè tale è la frequenza delle oscillazioni). Un tale sistema non è realistico, a causa della dipendenza dal tempo del modulo di Young. Inoltre, le varie grandezze sono prive di dimensioni. In particolare, il sistema evolve in un "tempo adimensionale". Piuttosto, più che un sisema fisico lo vedo (con abuso di linguaggio) come un sistema dinamico astratto che determina la legge di distribuzione dei numeri primi, visto che lungo la retta critica le oscillazioni nelle due direzioni ortogonali si annullano "simultaneamente" (ho utilizzato le virgolette poichè, per quanto detto, il tutto evolve in un "tempo adimensionale").

Nota. Si annullano simultaneamente, ma non sempre. Cioè si annullano in un insieme infinito numerabile di punti, che ovviamente corrispondono agli zeri non banali della zeta.