Pi greco: i calcoli di newton

Di pi greco abbiamo già numerose volte parlato in questo blog.
L'ultima volta abbiamo persino cercato di ricostruire l'affascinante storia di questa costante matematica.
Cosa ci sarà allora di nuovo da dire su tal numero?
In questo post andremo a scoprire il particolare metodo utilizzato nientemeno che da Isaac Newton, uno dei padri dell'analisi matematica, per determinare le cifre del pi greco.
Nel suo studio sulla emblematica costante, Newton prese in considerazione una semicirconferenza di centro C (1/2, 0) e raggio r = 1/2.

Newton sapeva bene che, in un piano cartesiano, una circonferenza di centro (α, β) e raggio r fosse descritta dall'equazione:

la quale, tenendo presente la figura sopra riportata, diviene:

Sviluppando i quadrati:

da cui si ricava:

ovvero l'equazione della semicirconferenza superiore.
Essa si può anche riscrivere nel seguente modo:

Newton prese in considerazione l'area A sottesa alla curva (nella figura, evidenziata in verde) tra x = 0 e x = 1/4.
Come ben noto, l'area sottesa a una certa curva si può esprimere attraverso un integrale definito.
In tal caso si ha:

Newton applicò il proprio teorema binomiale al fine di rendere l'espressione più maneggevole.
Cos'è il teorema binomiale?
Il teorema binomiale, detto anche formula di Newton, binomio di Newton o sviluppo binomiale, serve ad esprimere lo sviluppo della n-esima potenza (con n naturale) di un qualsivoglia binomio.
La formula è la seguente:

dove

è il cosiddetto coefficiente binomiale, che può essere esplicitato come segue:

Proviamo a sviluppare ad esempio (a + b)⁴ mediante il teorema binomiale:

Esplicitando i coefficienti binomiali:

Ma se invece di avere un esponente naturale avessimo un esponente reale?
No problem, la formula di Newton si può generalizzare!
Il coefficiente binomiale diventa:

dove α è un numero reale e k un naturale.
La formula generalizzata è invece:

L'ultimo termine è una quantità (precisamente un resto) piccolissima, infinitesima, chiamata o-piccolo, che viene fuori dallo sviluppo.
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