Possibile? Impossibile? Achille e la Tartaruga

Achille (il guerriero greco, il più veloce di tutti i mortali) e una tartaruga si trovano su una pista polverosa sotto il sole. Molto più avanti sulla pista, su una lunga asta, vi è una grande bandiera rettangolare. La bandiera è tutta rossa, a parte un sottile buco a forma d'anello, attraverso il quale si vede il cielo.
Achille: Che cos'è quella strana bandiera dall'altro lato della pista? Mi ricorda in qualcosa una stampa del mio artista preferito, M. C. Escher.
Tartaruga: Quella è la bandiera di Zenone.
Achille: Il foro che c'è non somiglia a quelli disegnati da Escher in un suo nastro di Möbius? Qualcosa non va in quella bandiera. Ne sono certo.
Tartaruga: L'anello che è stato ritagliato nella bandiera ha la forma di un numero zero, che è il numero preferito di Zenone.
Achille: Ma lo zero non è stato ancora inventato! Verrà inventato tra qualche millennio da un matematico indiano. E quindi, signorina Tartaruga, ciò prova che quella bandiera è impossibile.
Tartaruga: Il suo argomento è convincente, Achille, ed io devo convenire che una simile bandiera è davvero impossibile! Comunque è bella, non è vero?
Achille: Oh, si, non c'è dubbio alcuno sulla sua bellezza.
Tartaruga: Mi chiedo se la sua bellezza non sia connessa con la sua impossibilità. Non lo so; non ho mai avuto il tempo di analizzare la Bellezza. La Bellezza è una Essenza Maiuscola, e sembra che io non abbia mai tempo per le Essenze Maiuscole.
Achille: Parlando di Essenze Maiuscole, signorina T., si è mai interrogata sullo Scopo della Vita?
Tartaruga: Cielo, no!
Achille: Non si è neanche mai chiesta come mai siamo qui, chi ci ha inventati?
Tartaruga: Oh, questa è una cosa del tutto diversa. Noi siamo invenzioni di Zenone (come presto scoprirà) e la ragione per la quale siamo qui è che dobbiamo misurarci in una gara podistica.
Achille: Una gara podistica? Che insolenza! lo, il più veloce di tutti i mortali, misurarmi con lei, l'essere più lento di tutti i lenti! Questa gara non può che essere priva di senso.
Tartaruga: Lei potrebbe darmi un po' di vantaggio.
Achille: Dovrei darle un grossissimo vantaggio.
Tartaruga: Non faccio obiezioni.
Achille: Ma la raggiungerò, prima o poi; molto probabilmente, prima.
Tartaruga: No, se le cose andranno secondo il paradosso di Zenone. Zenone spera di usare la nostra gara podistica per dimostrare che il moto è impossibile, capisce? Secondo Zenone, il moto sembra possibile solo nella mente. In verità, il Moto è Inerentemente e Intrinsecamente Impossibile. Ed egli lo dimostra in maniera davvero elegante.
Achille: Oh, mi ricordo adesso: il famoso köan Zen sul Maestro Zen Zenone. Come lei dice, è davvero molto semplice.
Tartaruga: Köan Zen? Maestro Zen? Che cosa dice?
Achille: Dice: Due monaci stavano discutendo di una bandiera. Uno disse: "La bandiera si muove". L'altro disse: "E’ il vento a muoversi". Zenone, il sesto patriarca, stava passando per caso da quelle parti. Egli disse loro: "Non il vento, non la bandiera; è la mente che si muove”.
Tartaruga: Ho l'impressione che lei faccia un po' di confusione, Achille. Zenone non è un maestro Zen; tutt'altro. Egli è, in verità, un filosofo greco della città di Elea (che sta a metà strada fra il punto A e il punto B). Nei prossimi secoli sarà famoso per i suoi paradossi sul moto. In uno di questi paradossi la gara podistica che lei e lo dovremo affrontare ha il ruolo centrale.
Achille: Sono veramente perplesso. Ricordo perfettamente che mi ripetevo di continuo i nomi dei sei patriarchi Zen, e dicevo sempre: "Il sesto patriarca è ZZ ... enone, il sesto patriarca è ZZ ... enone... " (Improvvisamente si leva una leggera, tiepida brezza). Oh, guardi, signorina Tartaruga, com'è bella la bandiera che ondeggia! Che bei giochi di luce vi producono quelle increspature che scivolano lungo il morbido tessuto! Ed anche l'anello che vi è ritagliato ondeggia!
Tartaruga: Non sia ridicolo. La bandiera è impossibile, quindi non può ondeggiare. Il vento ondeggia.
(Compare Zenone).
Zenone: Salve, salve. Che succede? Che c'è di nuovo?
Achille: La bandiera si muove.
Tartaruga: E’ il vento a muoversi.
Zenone: Oh amici, amici, ponete fine alle vostre diatribe! Fermate la vostra ira! Cessate le vostre discordie! Poiché io risolverò il problema per voi in un attimo. E poi in un giornocosì bello!
Achille: Questo è un po' suonato.
Tartaruga: No, aspetti, Achille, vediamo che cosa ha da dire. Oh, sconosciuto, deh, fa' noi partecipi del tuo pensiero su questo argomento.
Zenone: Con estremo piacere. Non il vento, non la bandiera: nessuno dei due si muove. Né altro si muove. Perché io ho scoperto un grande Teorema che dice: "Il Moto è Inerentemente e Intrinsecamente Impossibile". E da questo Teorema consegue un Teorema ancora più grande, il Teorema di Zenone: "Il Moto Unesiste".
Achille: "Il Teorema di Zenone"? E’ lei, per caso, il filosofo Zenone di Elea?
Zenone: Ebbene, sì, Achille.
Achille (grattandosi il mento con un'espressione di stupore): Come fa, questo, a sapere il mio nome?
Zenone: Posso persuadere voi due ad ascoltarmi sul perché è così? Ho fatto tutta la strada dal punto A fino ad Elea questo pomeriggio, proprio per tentare di trovare qualcuno disposto a prestare un po' di attenzione alla mia inattaccabile argomentazione. Ma qui sono tutti indaffarati, e non hanno tempo. Non potete immaginare quanta amarezza si prova quando si riceve un rifiuto dopo l'altro. Oh, mi dispiace di annoiarvi con i miei guai, ma vorrei chiedervi solo una cosa: sareste disposti voi due a compiacere un vecchio, ridicolo filosofo ascoltandolo per pochi attimi, solo pochi davvero, appena il tempo necessario per esporre le sue eccentriche teorie?
Achille: Oh, ma certo! Prego, ci illumini! Io so che parlo per entrambi, poiché la mia amica Tartaruga stava proprio parlando di lei poco fa con grande venerazione e ha accennato in particolare ai suoi paradossi.
Zenone: Grazie. Vedete, il mio Maestro, il quinto patriarca, mi ha insegnato che la realtà è una, immutabile ed eterna; tutta la pluralità, il divenire e il moto sono mere illusioni dei sensi. Alcuni si sono presi gioco delle sue idee; ma io mostrerò l'assurdità di questo atteggiamento irriverente. Il mio argomento è molto semplice. Lo illustrerò con due personaggi di mia Invenzione: Achille (il guerriero greco, il più veloce di tutti i mortali) e una Tartaruga. Nel mio racconto, essi vengono convinti da un passante a fare una gara podistica lungo una pista verso una bandiera che sventola nella brezza. Supponiamo che la Tartaruga, visto che è molto più lenta, si prenda un vantaggio, diciamo, di una decina di pertiche. Ora la gara ha inizio. In pochi balzi Achille ha raggiunto il punto di partenza della Tartaruga.
Achille: Ah!
Zenone: Ed ora la Tartaruga ha solo una pertica di vantaggio su Achille. In un solo attimo Achille percorre questa distanza.
Achille: Eh, eh!
Zenone: Tuttavia, in quel breve attimo, la Tartaruga è riuscita a fare un piccolo passettino avanti. In un baleno Achille copre anche questa distanza
Achille: Hi, hi, hi!
Zenone: Ma in quel brevissimo tempo la Tartaruga sarà riuscita ad avanzare ancora di un pollice. E così Achille è ancora dietro. Ora capirete che, perché Achille raggiunga la Tartaruga, questo gioco deve essere giocato un numero INFINITO di volte; e quindi Achille non raggiungerà MAI la Tartaruga.
Tartaruga: Oh, oh, oh, oh!
Achille: Hum... Hum... Hum... Hum... Hum... Questo ragionamento ha qualcosa che non va. E tuttavia non riesco a individuare l'errore.
Zenone: Non è un rompicapo? E’ il mio paradosso preferito.
Tartaruga: Ma scusami, Zenone, il tuo racconto riguarda un altro principio, no? Tu hai appena finito di raccontarci ciò che sarà noto fra molti secoli come "il paradosso di Achille", secondo il quale Achille (ehm!) non raggiungerà mai la Tartaruga; ma la dimostrazione che il Moto è Inerentemente e Intrinsecamente Impossibile (e che quindi il Moto Unesiste) è il tuo "paradosso della dicotomia", no?
Zenone: Oh, che vergogna! Naturalmente volevo raccontare l'altro paradosso. Quello che dice che per andare da A a B si deve prima percorrere metà della strada e poi un'altra metà di quella che rimane e così via. Il fatto è che entrambi questi paradossi hanno la stessa natura. Francamente, io ho avuto una sola Grande Idea. E l'ho sfruttata in diversi modi.
Achille: Giuro che questi ragionamenti hanno un tallone d'Achille; non so bene dove, ma certo non possono essere giusti.
Zenone: Lei dubita della validità del mio paradosso? Perché non prova? Vede quella bandiera rossa, laggiù, alla fine della pista?
Achille: Quella impossibile, basata su una stampa di Escher?
Zenone: Esattamente. Che ne dite, lei e la signorina Tartaruga, di fare una corsa fino alla bandiera, concedendo alla signorina T. un equo vantaggio di, bene, non so...
Tartaruga: Dieci pertiche?
Zenone: Molto bene, dieci pertiche.
Achille: Sono pronto.
Zenone: Magnifico! Che emozione! Un test empirico del mio Teorema rigorosamente provato! Signorina Tartaruga, vuole spostarsi dieci pertiche più avanti?
(La Tartaruga si ferma dieci pertiche più avanti nella direzione della bandiera).
Siete pronti?
Tartaruga ed Achille: Pronti!
Zenone: Ai vostri posti! Pronti! Via!

Douglas R. Hofstadter