2011, che potenza

Un paio di problemi danesi.
Senza calcolare per esteso il risultato, sapreste dire quante cifre ha 2²⁰¹¹? Con quale cifra comincia questo numero? e con quale finisce?
Nell'immagine è rappresentata in due tonalità di grigio una figura costruita con 4 triangoli rettangoli uguali tra loro, ciascuno con i cateti che misurano rispettivamente 1 e 2.
Vengono tracciate due circonferenze: una esterna, che passa per i vertici della figura, e una interna alla figura, tangente ai suoi lati. Quanto misura l'area racchiusa tra le due circonferenze?
Buon lunedì.
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