Infatti consideriamo ad esempio due qualsiasi punti A e B. Se li riportiamo su un sistema di assi cartesiani ortogonali, notiamo che il punto medio M, in quanto tale, divide il segmento AB in due segmenti congruenti, AM e MB. Per il teorema di Talete, se due rette parallele sono tagliate da due trasversali, allora a segmenti proporzionali su una trasversale corrispondono segmenti proporzionali sull'altra traversale. In poche parole, se AM = MB, allora la congruenza tra segmenti deve valere anche per gli assi delle ascisse e delle ordinate, ciascuno dei quali forma, insieme alla retta su cui giacciono A e B, una coppia di trasversali che tagliano un fascio di rette parallele (individuate dalle proiezioni delle coordinate dei punti stessi sugli assi). In particolare:
Quindi, considerando le lunghezze di tali segmenti, avremo:
Ma le differenze scritte sono sempre positive, per cui possiamo scrivere:
Risolvendo rispetto a xM e yM avremo:
Per cui, in sintesi, possiamo dire che le coordinate del punto medio di un segmento sul piano cartesiano sono date dalla media aritmetica delle rispettive coordinate degli estremi del segmento stesso. Naturalmente è possibile conoscere le coordinate di un estremo di un segmento note le coordinate del punto medio e dell'altro estremo, ricavando le formule inverse.
Se vuoi vedere alcuni esempi di esercizi di geometria analitica in cui bisogna determinare le coordinate del punto medio di un segmento, vai a questo post o a quest'altro.