Frattali e partizioni

Forse potrebbe esserci un legame

di Ginevra Sanvitale

Hai presenti i frattali, quelle specie di ghirigori tutti arzigogolati che usano spesso i matematici per farti credere che la loro materia sia affascinante? Ebbene, noi non ci esprimeremo sulla matematica, perché sarebbe una valutazione troppo soggettiva, ma i frattali affascinanti lo sono davvero. La loro peculiarità principale è la struttura composta da oggetti dalla medesima forma ma in scala diversa. Uno degli esempi più famosi di frattale presente in Natura è il broccolo romano, ma si può rintracciare una struttura analoga anche in forme insospettabili come le montagne o le coste.

Il frattale nel piatto.

Un altro oggetto interessante della matematica sono le partizioni. Una partizione è un modo per scrivere un numero intero positivo rappresentandolo come somma di altri numeri interi positivi, senza badare all’ordine degli addendi (ovvero rappresentare 5 come 3+2 sarà equivalente a rappresentarlo come 2+3). La quantità di partizioni che possiede un numero aumenta molto rapidamente con il crescere del suo valore. Già soltanto il numero 8 ha 22 partizioni, più del quadruplo di quante ne abbia 4, che invece ne ha 5 (4+0, 3+1, 2+2, 2+1+1, 1+1+1+1). Va da sé che calcolare, ad esempio, le partizioni di 100 è davvero un lavoraccio infame.

Ultimo aspetto ammaliante della matematica che troverai in quest’articolo, e vero nocciolo della questione, è il possibile legame fra i due argomenti: frattali e partizioni. A suggerire l’idea è il matematico Ken Ono, della Emory University ad Atlanta, con uno studio pubblicato sul sito dell’American Institute of Mathematics (AIM). Tutto iniziò quando Ono, adolescente, guardò un documentario sul matematico indiano Srinivasa Ramanujan, autore di un’importante formula riguardante il calcolo delle partizioni.

La formula di Ramanujan mostra come i numeri che finiscono in 4 e in 9 hanno un numero di partizioni divisibili per 5, ed è possibile rintracciare la stessa proprietà in quelli divisibili per 7 e per 11. Quanto aggiungono gli studi di Ono e dei suoi colleghi è la possibilità che la partizione segua un andamento frattale negli interi generati da una formula contenente numeri primi. Se, ad esempio, una sequenza è generata da 13, tutti le sue partizioni saranno divisibili per 13, ma non solo: sarà possibile trovare sottosequenze divisibili per il quadrato di 13, per il suo cubo e così via.

Sebbene Trevor Wooley, matematico dell’Università di Bristol, in Inghilterra, suggerisca di andare cauti con l’utilizzo in maniera letterale del termine “frattale” per le scoperte di Ono e dei suoi colleghi, in quanto è più una metafora matematica che una descrizione puntuale dell’argomento, i legami tra frattali e partizioni saranno un ottimo spunto di conversazione la prossima volta che andrai a cercare di rimediare un appuntamento in un dipartimento di matematica.