Il teorema di Pick

Quanti quadratini misura la superficie del rettangolo disegnato in alto a sinistra nella figura? Semplice: 4 x 3 = 12 quadratini.
 
In generale, se il rettangolo è largo B quadratini e alto H, l'area misurerà B per H quadratini. Manipoliamo un po' questa formula:

Area = BH = (B-1)(H-1) + B + H -1 = (B-1)(H-1) + 2(B + H)/2 -1.

Ora contiamo i punti del reticolo quadrettato interni al rettangolo in figura: sono 6. E quelli attraversati dal bordo? Sono 14. E l'area del rettangolo misura 12 = 6 + 14/2 -1 quadratini.
Per un rettangolo generico di dimensioni B per H, i punti interni sono proprio:

I = (B-1)(H-1)

e i puntini attraversati dal bordo:

L = 2(B + H)

Quindi la formula si può riscrivere:

Area = I + L/2 - 1

In parole: l'area è uguale al numero di puntini interni, meno il numero di puntini esterni diviso per 2, meno 1.
 
Bella, ma sarà vera solo per i rettangoli. O no?
La sorpresa è che no, non vale solo per i rettangoli, ma per qualunque poligono disegnato su carta quadrettata, il cui contorno sia ottenuto congiungendo punti del reticolo, senza mai incrociarsi. Un po' più precisamente, ma solo un po', il bordo della figura deve essere quello che si chiama una "poligonale semplice" che si appoggia ai puntini del reticolo.
 
Questa bella e sorprendente proprietà fu scoperta nel 1899 da Georg Alexander Pick. Matematico austriaco vissuto a cavallo del 900, insegnò all'università di Vienna, di Praga, fu sponsor di Albert Einstein. Terminò la sua vita tragicamente nel 1942, nel campo di Theresienstadt, uno dei campi di raccolta per Auschwitz.
 
La dimostrazione del Teorema di Pick è abbastanza semplice, se ne trovano diversi esempi in internet. A me piace uno dei passaggi della dimostrazione, laddove si dimostra che "l'area dell'insieme di due figure che condividono un tratto di bordo è uguale alla somma delle aree delle due figure".
 
Siano (L1,I1) e (L2,I2) il numero di punti esterni e interni, relativi alla figura 1 e alla figura 2. Supponiamo anche che le due figure condividano un tratto di bordo che attraversa X punti.
Il calcolo di (L,I) per la figura combinata è allora:
L = L1 + L2 - 2X + 2
I = I1 + I2 + X - 2
 
Calcolando le aree si trova:
S = I + L/2 - 1 = I1 + I2 + X - 2 + (L1 + L2 - 2X + 2)/2 - 1 =
  = (I1 + L1/2 - 1) + (I2 + L2/2 - 1) =
  = S1 + S2
Bello. Fosse tutto così semplice, nella vita. Invece alle volte bisogna addirittura "Bust Your Knee Caps", come dolcemente suggerisce Nataly Dawn dei Pomplamoose, nel suo caso per il tipo che l'ha lasciata: frantumargli le rotule.

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