Piccoli, bianchi frattali di neve

Peccato che ancora non arrivino

di Diletta Martinelli

Ormai ci siamo. Luminarie per le strade, piste di ghiaccio nelle piazze, facce sorridenti con le guance arrossate davanti al banchetto delle caldarroste. Manca solo una cosa per completare l’atmosfera natalizia: dei romantici, bianchi, a volte un po’ infami fiocchi di neve che scendono giù dal cielo. Una maestra potrebbe proporre un nuovo lavoretto di Natale: “Bambini, disegnate un fiocco di neve!”. La procedura in fondo è molto semplice. Prova anche tu: si parte con un triangolo equilatero, poi si divide ogni lato in tre parti uguali e si costruisce nella parte centrale un altro triangolo, e così via… per quante volte? Infinite! Eh, sì, perché quello che stai costruendo non è altro che il fiocco di neve di Von Koch, un tipico esempio di oggetto frattale.

Ingrandito, appare così. (Cortesia: SnowCrystals.com)

Ma che cos’è esattamente un frattale? La definizione parla di un oggetto geometrico frastagliato le cui parti hanno, almeno approssimativamente, la stessa forma della figura intera. Facciamo alcuni esempi, e non serve certo pescarli da astrusi libri di matematica: il cavolo romanesco, le foglie della felce, le coste della Sardegna e anche i rami dell’abete, per rimanere in clima natalizio. Insomma, ne siamo circondati. Ovviamente ci sono anche esempi meno quotidiani, che più che figure geometriche sembrano vere opere d’arte: il triangolo di Sierpinski, ad esempio, o l’insieme di Julia o il celebre insieme di Mandelbrot.

Il primo a usare il termine “frattale” fu proprio il matematico franco-americano Benoît Mandelbrot. Nel corso della sua carriera, passando attraverso campi di ricerca molto diversi, dalla cosmologia alla finanza, si era imbattuto in problemi dove ritrovava una cifra comune: l’autosimilarità, cioè la proprietà della parte di assomigliare al tutto. Nel 1975 raccolse tutti i suoi risultati e le sue osservazioni nel libro Les objets fractals: forme, hasard et dimension (del quale la versione inglese, Fractals: Form, Chance and Dimension, venne pubblicata nel 1977).

Il problema della dimensione di un oggetto frattale è estremamente complesso. La dimensione dovrebbe essere un indicatore di quanto è complesso l’oggetto che abbiamo di fronte. La definizione matematica rigorosa è data dalla dimensione di Hausdorff, che generalizza il concetto di dimensione di uno spazio vettoriale, con la differenza che la dimensione di Hausdorff può assumere il valore di qualunque numero reale. Ricordi il fiocco di neve di Von Koch? Se nel procedimento ricorsivo ti fermi dopo quattro passi, allora quello che ottieni è un oggetto con dimensione di Hausdorff approssimativamente 1,2619.

Arte moderna? No, matematica. (Cortesia: Wolfgang Beyer)

Ma veniamo ora alla domanda forse più scontata. Quella che tutti si pongono di fronte alle nuove scoperte (o invenzioni?) matematiche. Ma questi frattali servono? Sì o no? Ebbene sì, non sono solo un parto della mente allucinata di Mandelbrot e dei suoi compari. Ad esempio sono state costruite antenne con una forma frattale che permette di massimizzare il perimetro e nel contempo di ridurre la quantità di materiale utilizzato. Inoltre Mandelbrot ha apportato un contributo considerevole all’econofisica introducendo il moto browniano frattale (http://en.wikipedia.org/wiki/Fractional_Brownian_motion), che simula le fluttuazioni degli indici finanziari.

Infine, che tu ci creda o no, anche i frattali sono un business. Ci sono ormai moltissimi siti e negozi che vendono vestiti e gadget frattali. Vuoi una maglietta? Va’ su Fractal T-shirts. Addirittura i frattali hanno ispirato un nuovo genere di musica. Ci sono compositori che per comporre pezzi musicali utilizzano algoritmi ricorsivi che descrivono curve frattali. Insomma, manca solo una nevicata e poi l’invasione frattale sarà completata.