Risolviamo il seguente problema di geometria analitica:
Nel segmento di estremi A(-2;9) e B(14;1) determina le coordinate dei punti che lo dividono in due parti proporzionali ai numeri 5 e 3.Se il segmento viene diviso in due parti proporzionali ai numeri 5 e 3, possiamo dire più semplicemente che uno dei due segmenti in cui viene diviso il segmento
AB sarà i 5/3 dell'altro. In particolare,
dobbiamo determinare le coordinate di 2 punti C e D, in quanto sono possibili due situazioni (vedi fig.): 1)
C divide il segmento
AB in maniera tale che
AC sia i 5/3 di
CB;2)
D divide il segmento
AB in maniera tale che
AD sia i 3/5 di
DB.
1) Consideriamo il primo caso:
Siccome AC = 5/3 CB, quest'ultima equazione dovrà essere valida anche per la distanza tra le ascisse di questi due segmenti e per la distanza tra le ordinate. Notiamo infatti che la retta su cui giace
AB e l'asse delle ascisse formano due trasversali che tagliano il fascio di rette parallele condotto perpendicolarmente all'asse delle ascisse (tali rette sono tratteggiate in figura).
Per il teorema di Talete, a segmenti proporzionali su una trasversale corrispondono segmenti proporzionali sull'altra trasversale, per cui in parole semplici il rapporto tra i segmenti
AC e
CB dev'essere lo stesso di quello tra i segmenti
A'C' e
C'B'. Analogo ragionamento si può seguire per le ordinate. Quindi dovrà essere:
Analogamente possiamo trovare l'ordinata del punto
C (saltando qualche passaggio):
Il punto C avrà coordinate C(8;4).2) Ragioniamo in maniera analoga per il punto D, che divide AB in modo tale che AD sia lungo 3/5 di DB e avremo:
Il punto D ha coordinate D(4;6).