Quando non si arriva mai al punto

Il problema, proposto nel 2005 nel Lehigh University High School Math Contest, propone un divertente quesito.
Un triangolo equilatero è riempito esattamente da n righe di cerchi tutti uguali tra loro (la figura mostra il caso n=4). Ogni circonferenza è tangente ad altre circonferenze o a lati del triangolo equilatero.
Al tendere all'infinito di n, quanto vale il rapporto tra l'area totale ricoperta dai cerchi e quella del triangolo?
Poiché un cerchio, per quanto piccolo, non diventa mai un punto, rimarranno sempre dei punti del triangolo non ricoperti, quindi il rapporto è un numero minore di 1.
Buon lunedì.