Quant’è lunga la costa della Gran Bretagna? I frattali

“Quant’è lunga la costa della Gran Bretagna?”

Per quanto possa sembrare una domanda alquanto stupida la risposta non è banale e solo nella metà del XX secolo ha trovato una risposta.

Il principale problema è capire come approssimare la costa: potremmo usare delle rette come qui di fianco, ma perderemmo gran parte della costa. Potremmo quindi aumentare la quantità di rette e seguire con più precisione il perimetro. Ma quanta precisione? Più aumentiamo la precisione più la lunghezza aumenta.

“C’è un limite a questa lunghezza?”

Prendiamo una linea, che idealizza la costa. Ovviamente è troppo dritta per essere reale, quindi creiamo

un’insenatura aggiungendo 1/3 di linea. In totale così avremo 4/3 di corda. Voi avete mai visto una costa a V?
Non penso, quindi con lo stesso identico procedimento di prima creiamo altre insenature. Ognuna delle 4 linee è cresciuta di 4/3 per una lunghezza totale di (4/3)² . Reiterando per n volte avremmo (4/3)ⁿ . Una misura che potremmo ritenere infinita.
Qualche fisico potrebbe obiettare indicando che la massima divisione possibile è 10^-34 (la costante di Planck) altrimenti si verrebbe a creare un buco nero che risucchierebbe il problema (risolvendolo), ma essendo una questione matematica si va “verso l’infinito ed oltre” Cit.

Torniamo alla costa della Gran Bretagna. Se prendiamo diversi ingrandimenti della costa noterete che sono abbastanza simili e se non disponete della legenda con la scala potreste avere problemi nel capire quali sono quelle zoomate.

L’esempio quotidiano (anche se non riguarda me) è il cavolfiore: per quando lo possiate ingrandire la forma rimante sempre la stessa.. un cavolfiore.

Un esempio matematico è il Fiocco di neve di Koch che usa sempre la stessa “base”. Trucchetto utilizzato anche nei videogiochi per creare ambienti complessi in poca memoria sfruttando lo stesso elemento.

Questi oggetti che ripetono le loro forme si chiama Frattali.

Prima della scoperta dei Frattali nel 1975 da parte di Mandelbrot, gli oggetti geometrici erano uni-, bi- o tridimensionali: linea, esagono o cubo per intenderci.

Dove si inseriscono i Frattali? tra 1 e 2 dimensioni!

“Come fa un oggetto ad avere una dimensione tra 1 e 2?”

Se abbiamo una retta su uno schermo e contiamo il numero di pixel neri e poi prendiamo pixel grandi la metà dei primi avremo il doppio (2¹) dei pixel colorati di nero. Questo è un oggetto unidimensionale.
Adesso prendiamo un quadrato, riduciamo la grandezza nuovamente dei pixel e contiamoli, avremo 4 volte (2²) il numero di prima. Questo è un oggetto bidimensionale.

Se ora prendiamo una costiera Frattale del fiocco e facciamo lo stesso procedimento avremo 2^1,26 cioè 1,26-dimensionale.

I frattali sono molto importanti e nella natura sono molto comuni.

Restando sulle coste, abbiamo quella australiana con 1,13 (non è molto frastagliata) o quella sudafricana 1,04 (praticamente una riga) o quella norvegese con 1,52.

Se state respirando lo dovete sempre ai frattali che sono nei vostri polmoni con una dimensione frattale di 2,97.

Ah sì, la costa della Gran Bretagna è lunga quanto volete. Dipende da quanto zoomate.

—> Rielaborazione da un libro molto bello (ogni tanto leggo anche io) che consiglio L’equazione da un milione di dollari

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