Ricorsione e frattali

Turandot non è certo la regina di questa storiella, ma quest'immagine è troppo bella per essere esclusa dal post.

Oggi voglio parlare di un argomento molto legato ai frattali: la ricorsione.
Una regola ricorsiva è necessaria alla creazione di un frattale, ma non basta che qualcosa sia ricorsivo perché sia anche frattale.

Perché la ricorsione non è sufficiente?

Un esempio è la famosa storiella:

C’era una volta un re, seduto su un sofà, che disse alla regina “Raccontami una storia!”. E la regina incominciò:

“C’era una volta un re, seduto su un sofà, che disse alla regina “Raccontami una storia!”. E la regina incominciò:

“C’era una volta un re, seduto su un sofà, che disse alla regina “Raccontami una storia!”. E la regina incominciò:

“C’era una volta un re, seduto su un sofà, che disse alla regina “Raccontami una storia!”. E la regina incominciò:

“C’era una volta un re, seduto su un sofà, che disse alla regina “Raccontami una storia!”. E la regina incominciò:

…

…

…”

E’ difficile immaginarsi qualcosa di più ricorsivo, ma è comunque decisamente impossibile considerare questa storiella “frattale”.

Ciò che manca è il trovare, rimpicciolito, il tutto nella parte.

Consideriamo il mio precedente post su alberi e frattali. Lì viene dato il seguente schema per creare un semplice albero frattale.

1. Disegna un ramo in verticale (il tronco)
2. In cima ad ogni ramo (da cui non partano già altri rami) disegna due rami lunghi e spessi la la metà del ramo originario, separati fra loro da un angolo di 40°
3. Ritorna alla istruzione 2. e continua da lì

Mentre nella nostra storia lo schema è:

1. C’era una volta un re, seduto su un sofà, che disse alla regina “Raccontami una storia!”. E la regina incominciò:
2. Apri virgolette e inserisci il punto 1.

Vediamo che la differenza fra questi due set di istruzioni è proprio la mancanza del rimpicciolimento.

Perché la ricorsione è necessaria?

La ricorsione è necessaria perché vogliamo arrivare a raggiungere, almeno in una direzione, l’infinito: infatti, se ogni parte può essere ingrandita per diventare uguale al tutto (e contenere quindi se stessa), allora non solo la ricorsione è la soluzione ovvia: (un albero dentro un albero dentro un albero…), ma è anche l’unica possibile.

Raggiungere l’infinito non è semplice. L’unico modo per farlo (e ovviamente solo in teoria, non nella pratica) è avere una o più istruzioni e ripeterle, a loro volta, all’infinito.
[Ora che ho scritto questo passerà di qui un matematico e mi correggerà... la matematica pura ha davvero degli strumenti strani]
La magia dei frattali sta proprio in cosa può nascere da regole semplici, se queste vengono applicate più e più volte allo stesso oggetto. E la magia dei frattali non sta solo nel loro bellissimo aspetto, ma in come possono aiutarci a descrivere fenomeni complessi e caotici.

Il modo in cui i frattali compaiono nello studio dei sistemi dinamici e nella teoria del caos sarà materia di altri post in futuro. Datemi solo il tempo di riordinare gli appunti dell’anno scorso!