Musica e matematica: note, punti, armoniosità e simmetria

"La musica è il piacere che la mente umana prova quando conta senza essere conscia di contare" (Gottfried Wilhelm von Leibniz)

"Nonostante tutta l'esperienza che io possa aver acquisito nella musica per il fatto di essermi associato tanto a lungo con essa, devo confessare che solo con l'aiuto della matematica le mie idee si sono chiarite" (Jean-Philippe Rameau)"La musica non può progredire senza l'ausilio della scienza" (Pierre Boulez)Tre citazioni che evidenziano in modo perfetto lo stretto rapporto che intercorre tra musica e matematica, una relazione già scoperta in tempi antichi da Pitagora, come racconta ad esempio Giamblico nella sua Vita di Pitagora.
Un giorno Pitagora, mentre passeggiava nella città di Crotone seguito dai suoi discepoli, capitò di fronte alla bottega di un fabbro ferraio e si fermò ad ascoltare i suoni dei martelli che battevano sulle incudini.
Il filosofo si accorse che alcuni di questi suoni stavano bene insieme (ossia erano consonanti), mentre altri no (dissonanti). Abbiamo parlato in maniera approfondita di consonanza e dissonanza in musica nell'articolo "Helmholtz e la dissonanza".
Curioso di comprendere perché avvenisse questo singolare fenomeno, entrò e incominciò a fare esperimenti.
Innanzitutto prese 2 martelli di peso identico, li batté sull'incudine e si rese conto che producevano il medesimo suono.
Poi afferrò altri 2 martelli, questa volta di peso differente: il primo pesava il doppio del secondo.
Battendoli su un'incudine, si rese conto che la nota prodotta era sempre la stessa, tuttavia a 2 altezze differenti (nello specifico, a una distanza che oggi viene chiamata ottava, l'intervallo più armonioso).
Nella successiva prova un martello pesava una volta e mezzo l'altro, dunque si aveva un rapporto dei pesi pari a 3:2.
I suoni furono differenti e in particolare produssero ciò che oggi viene chiamato intervallo di quinta.
I successivi esperimenti produssero ulteriori intervalli musicali.
Quello che Pitagora aveva scoperto era un vero e proprio ponte tra la musica, disciplina che apparteneva al mondo delle arti, e il mondo fisico, un ponte rappresentato dalla matematica!

Risulta necessario specificare che nel 1589 Vincenzo Galilei, padre di Galileo, nell'opera Discorso intorno alle opere di Messer Zarlino da Chioggia, fece notare che le leggi dell'armonia enunciate da Pitagora sono valide solamente per le lunghezze delle corde, ma non per i pesi, che devono invece essere quadrati.
I giusti rapporti numerici tra i suoni sono elencati in questa tabella:

Pitagora avrebbe dovuto accorgersi che per i pesi non valevano le stesse leggi che sussistevano per le corde.
Ciò fa capire che quanto racconta Giamblico potrebbe non essere del tutto veritiero (per maggiori approfondimenti sulla questione si veda qui)!
Vero però è il fatto che alla base della musica ci sia la matematica!
In questo post andremo ad analizzare un po' di relazioni che sussistono tra 2 mondi apparentemente così distaccati quali quello della musica e quello della matematica.
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